Integral de 1/sqrt(x+1)+4sqrt(x+1) dx

1. Integramos término a término:

   1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int 4 \sqrt{x + 1}\, dx = 4 \int \sqrt{x + 1}\, dx$

      1. que $u = x + 1$.

         Luego que $du = dx$ y ponemos $du$:

         $\int \sqrt{u}\, du$

         1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int \sqrt{u}\, du = \frac{2 u^{\frac{3}{2}}}{3}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $\frac{2 \left(x + 1\right)^{\frac{3}{2}}}{3}$

      Por lo tanto, el resultado es: $\frac{8 \left(x + 1\right)^{\frac{3}{2}}}{3}$

   1. que $u = \sqrt{x + 1}$.

      Luego que $du = \frac{dx}{2 \sqrt{x + 1}}$ y ponemos $2 du$:

      $\int 2\, du$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\text{False}$

         1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

            $\int 1\, du = u$

         Por lo tanto, el resultado es: $2 u$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $2 \sqrt{x + 1}$

   El resultado es: $\frac{8 \left(x + 1\right)^{\frac{3}{2}}}{3} + 2 \sqrt{x + 1}$

2. Ahora simplificar:

   $\frac{2 \sqrt{x + 1} \left(4 x + 7\right)}{3}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $\frac{2 \sqrt{x + 1} \left(4 x + 7\right)}{3}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{2 \sqrt{x + 1} \left(4 x + 7\right)}{3}+ \mathrm{constant}$