Integral de lntg(2x)+cosln(x) dx

1. Integramos término a término:

   1. Usamos la integración por partes:

      $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

      que $u{\left(x \right)} = \log{\left(\tan{\left(2 x \right)} \right)}$ y que $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = 1$.

      Entonces $\operatorname{du}{\left(x \right)} = \frac{2 \tan^{2}{\left(2 x \right)} + 2}{\tan{\left(2 x \right)}}$.

      Para buscar $v{\left(x \right)}$:

      1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

         $\int 1\, dx = x$

      Ahora resolvemos podintegral.

   2. Hay varias maneras de calcular esta integral.

      Método #1

      1. Vuelva a escribir el integrando:

         $\frac{x \left(2 \tan^{2}{\left(2 x \right)} + 2\right)}{\tan{\left(2 x \right)}} = \frac{2 x \tan^{2}{\left(2 x \right)} + 2 x}{\tan{\left(2 x \right)}}$

      2. Vuelva a escribir el integrando:

         $\frac{2 x \tan^{2}{\left(2 x \right)} + 2 x}{\tan{\left(2 x \right)}} = 2 x \tan{\left(2 x \right)} + \frac{2 x}{\tan{\left(2 x \right)}}$

      3. Integramos término a término:

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int 2 x \tan{\left(2 x \right)}\, dx = 2 \int x \tan{\left(2 x \right)}\, dx$

            1. No puedo encontrar los pasos en la búsqueda de esta integral.

               Pero la integral

               $\int x \tan{\left(2 x \right)}\, dx$

            Por lo tanto, el resultado es: $2 \int x \tan{\left(2 x \right)}\, dx$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \frac{2 x}{\tan{\left(2 x \right)}}\, dx = 2 \int \frac{x}{\tan{\left(2 x \right)}}\, dx$

            1. No puedo encontrar los pasos en la búsqueda de esta integral.

               Pero la integral

               $\int \frac{x}{\tan{\left(2 x \right)}}\, dx$

            Por lo tanto, el resultado es: $2 \int \frac{x}{\tan{\left(2 x \right)}}\, dx$

         El resultado es: $2 \int \frac{x}{\tan{\left(2 x \right)}}\, dx + 2 \int x \tan{\left(2 x \right)}\, dx$

      Método #2

      1. Vuelva a escribir el integrando:

         $\frac{x \left(2 \tan^{2}{\left(2 x \right)} + 2\right)}{\tan{\left(2 x \right)}} = 2 x \tan{\left(2 x \right)} + \frac{2 x}{\tan{\left(2 x \right)}}$

      2. Integramos término a término:

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int 2 x \tan{\left(2 x \right)}\, dx = 2 \int x \tan{\left(2 x \right)}\, dx$

            1. No puedo encontrar los pasos en la búsqueda de esta integral.

               Pero la integral

               $\int x \tan{\left(2 x \right)}\, dx$

            Por lo tanto, el resultado es: $2 \int x \tan{\left(2 x \right)}\, dx$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \frac{2 x}{\tan{\left(2 x \right)}}\, dx = 2 \int \frac{x}{\tan{\left(2 x \right)}}\, dx$

            1. No puedo encontrar los pasos en la búsqueda de esta integral.

               Pero la integral

               $\int \frac{x}{\tan{\left(2 x \right)}}\, dx$

            Por lo tanto, el resultado es: $2 \int \frac{x}{\tan{\left(2 x \right)}}\, dx$

         El resultado es: $2 \int \frac{x}{\tan{\left(2 x \right)}}\, dx + 2 \int x \tan{\left(2 x \right)}\, dx$

   1. que $u = \log{\left(x \right)}$.

      Luego que $du = \frac{dx}{x}$ y ponemos $du$:

      $\int e^{u} \cos{\left(u \right)}\, du$

      1. Usamos la integración por partes, notamos que al fin de cuentas el integrando se repite.

         1. Para el integrando $e^{u} \cos{\left(u \right)}$:

            que $u{\left(u \right)} = \cos{\left(u \right)}$ y que $\operatorname{dv}{\left(u \right)} = e^{u}$.

            Entonces $\int e^{u} \cos{\left(u \right)}\, du = e^{u} \cos{\left(u \right)} - \int \left(- e^{u} \sin{\left(u \right)}\right)\, du$.

         2. Para el integrando $- e^{u} \sin{\left(u \right)}$:

            que $u{\left(u \right)} = - \sin{\left(u \right)}$ y que $\operatorname{dv}{\left(u \right)} = e^{u}$.

            Entonces $\int e^{u} \cos{\left(u \right)}\, du = e^{u} \sin{\left(u \right)} + e^{u} \cos{\left(u \right)} + \int \left(- e^{u} \cos{\left(u \right)}\right)\, du$.

         3. Tenga en cuenta que el integrando se repite, por eso lo movemos hacia el lado:

            $2 \int e^{u} \cos{\left(u \right)}\, du = e^{u} \sin{\left(u \right)} + e^{u} \cos{\left(u \right)}$

            Por lo tanto,

            $\int e^{u} \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{e^{u} \sin{\left(u \right)}}{2} + \frac{e^{u} \cos{\left(u \right)}}{2}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $\frac{x \sin{\left(\log{\left(x \right)} \right)}}{2} + \frac{x \cos{\left(\log{\left(x \right)} \right)}}{2}$

   El resultado es: $x \log{\left(\tan{\left(2 x \right)} \right)} + \frac{x \sin{\left(\log{\left(x \right)} \right)}}{2} + \frac{x \cos{\left(\log{\left(x \right)} \right)}}{2} - 2 \int \frac{x}{\tan{\left(2 x \right)}}\, dx - 2 \int x \tan{\left(2 x \right)}\, dx$

2. Ahora simplificar:

   $x \log{\left(\tan{\left(2 x \right)} \right)} + \frac{\sqrt{2} x \sin{\left(\log{\left(x \right)} + \frac{\pi}{4} \right)}}{2} - 2 \int \frac{x}{\tan{\left(2 x \right)}}\, dx - 2 \int x \tan{\left(2 x \right)}\, dx$

3. Añadimos la constante de integración:

   $x \log{\left(\tan{\left(2 x \right)} \right)} + \frac{\sqrt{2} x \sin{\left(\log{\left(x \right)} + \frac{\pi}{4} \right)}}{2} - 2 \int \frac{x}{\tan{\left(2 x \right)}}\, dx - 2 \int x \tan{\left(2 x \right)}\, dx+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$x \log{\left(\tan{\left(2 x \right)} \right)} + \frac{\sqrt{2} x \sin{\left(\log{\left(x \right)} + \frac{\pi}{4} \right)}}{2} - 2 \int \frac{x}{\tan{\left(2 x \right)}}\, dx - 2 \int x \tan{\left(2 x \right)}\, dx+ \mathrm{constant}$