Integral de sin(x/4)*cos^6(x/4)*dx dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. que $u = \frac{x}{4}$.

      Luego que $du = \frac{dx}{4}$ y ponemos $4 du$:

      $\int 4 \sin{\left(u \right)} \cos^{6}{\left(u \right)}\, du$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \sin{\left(u \right)} \cos^{6}{\left(u \right)}\, du = 4 \int \sin{\left(u \right)} \cos^{6}{\left(u \right)}\, du$

         1. que $u = \cos{\left(u \right)}$.

            Luego que $du = - \sin{\left(u \right)} du$ y ponemos $- du$:

            $\int \left(- u^{6}\right)\, du$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int u^{6}\, du = - \int u^{6}\, du$

               1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                  $\int u^{6}\, du = \frac{u^{7}}{7}$

               Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{u^{7}}{7}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $- \frac{\cos^{7}{\left(u \right)}}{7}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{4 \cos^{7}{\left(u \right)}}{7}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $- \frac{4 \cos^{7}{\left(\frac{x}{4} \right)}}{7}$

   Método #2

   1. que $u = \cos{\left(\frac{x}{4} \right)}$.

      Luego que $du = - \frac{\sin{\left(\frac{x}{4} \right)} dx}{4}$ y ponemos $- 4 du$:

      $\int \left(- 4 u^{6}\right)\, du$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int u^{6}\, du = - 4 \int u^{6}\, du$

         1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int u^{6}\, du = \frac{u^{7}}{7}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{4 u^{7}}{7}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $- \frac{4 \cos^{7}{\left(\frac{x}{4} \right)}}{7}$

2. Ahora simplificar:

   $- \frac{4 \cos^{7}{\left(\frac{x}{4} \right)}}{7}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $- \frac{4 \cos^{7}{\left(\frac{x}{4} \right)}}{7}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$- \frac{4 \cos^{7}{\left(\frac{x}{4} \right)}}{7}+ \mathrm{constant}$