Integral de cos(3*x)/(1-sin(3*x))^(5/6) dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. que $u = 3 x$.

      Luego que $du = 3 dx$ y ponemos $\frac{du}{3}$:

      $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{3 \left(1 - \sin{\left(u \right)}\right)^{\frac{5}{6}}}\, du$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{\left(1 - \sin{\left(u \right)}\right)^{\frac{5}{6}}}\, du = \frac{\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{\left(1 - \sin{\left(u \right)}\right)^{\frac{5}{6}}}\, du}{3}$

         1. que $u = 1 - \sin{\left(u \right)}$.

            Luego que $du = - \cos{\left(u \right)} du$ y ponemos $- du$:

            $\int \left(- \frac{1}{u^{\frac{5}{6}}}\right)\, du$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \frac{1}{u^{\frac{5}{6}}}\, du = - \int \frac{1}{u^{\frac{5}{6}}}\, du$

               1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                  $\int \frac{1}{u^{\frac{5}{6}}}\, du = 6 \sqrt[6]{u}$

               Por lo tanto, el resultado es: $- 6 \sqrt[6]{u}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $- 6 \sqrt[6]{1 - \sin{\left(u \right)}}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- 2 \sqrt[6]{1 - \sin{\left(u \right)}}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $- 2 \sqrt[6]{1 - \sin{\left(3 x \right)}}$

   Método #2

   1. que $u = \left(1 - \sin{\left(3 x \right)}\right)^{\frac{5}{6}}$.

      Luego que $du = - \frac{5 \cos{\left(3 x \right)} dx}{2 \sqrt[6]{1 - \sin{\left(3 x \right)}}}$ y ponemos $- \frac{2 du}{5}$:

      $\int \left(- \frac{2}{5 u^{\frac{4}{5}}}\right)\, du$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{1}{u^{\frac{4}{5}}}\, du = - \frac{2 \int \frac{1}{u^{\frac{4}{5}}}\, du}{5}$

         1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int \frac{1}{u^{\frac{4}{5}}}\, du = 5 \sqrt[5]{u}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- 2 \sqrt[5]{u}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $- 2 \sqrt[6]{1 - \sin{\left(3 x \right)}}$

2. Añadimos la constante de integración:

   $- 2 \sqrt[6]{1 - \sin{\left(3 x \right)}}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$- 2 \sqrt[6]{1 - \sin{\left(3 x \right)}}+ \mathrm{constant}$