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Resolución de integrales/ sin(x)/ 1/(2*sin(x))

Integral de 1/(2*sin(x)) dx

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
 pi            
  /            
 |             
 |     1       
 |  -------- dx
 |  2*sin(x)   
 |             
/              
0
∫0π12sin⁡(x) dx\int\limits_{0}^{\pi} \frac{1}{2 \sin{\left(x \right)}}\, dx 
Integral(1/(2*sin(x)), (x, 0, pi))
Solución detallada
Tenemos el integral:
  /           
 |            
 |    1       
 | -------- dx
 | 2*sin(x)   
 |            
/
La función subintegral
   1    
--------
2*sin(x)
Multiplicamos numerador y denominador por
sin(x)
obtendremos
           /sin(x)\
           |------|
   1       \  2   /
-------- = --------
2*sin(x)      2    
           sin (x)
Como
sin(a)^2 + cos(a)^2 = 1
entonces
   2             2   
sin (x) = 1 - cos (x)
cambiamos denominador
/sin(x)\     /sin(x)\ 
|------|     |------| 
\  2   /     \  2   / 
-------- = -----------
   2              2   
sin (x)    1 - cos (x)
hacemos el cambio
u = cos(x)
entonces integral
  /                
 |                 
 |   /sin(x)\      
 |   |------|      
 |   \  2   /      
 | ----------- dx =
 |        2        
 | 1 - cos (x)     
 |                 
/                  
  
  /                
 |                 
 |   /sin(x)\      
 |   |------|      
 |   \  2   /      
 | ----------- dx =
 |        2        
 | 1 - cos (x)     
 |                 
/
Como du = -dx*sin(x)
  /             
 |              
 |    -1        
 | ---------- du
 |   /     2\   
 | 2*\1 - u /   
 |              
/
Reescribimos la función subintegral
             /-1 \                
             |---|                
   -1        \ 2 / /  1       1  \
---------- = -----*|----- + -----|
  /     2\     2   \1 - u   1 + u/
2*\1 - u /
entonces
                       /             /          
                      |             |           
                      |   1         |   1       
                      | ----- du    | ----- du  
  /                   | 1 + u       | 1 - u     
 |                    |             |           
 |    -1             /             /           =
 | ---------- du = - ----------- - -----------  
 |   /     2\             4             4       
 | 2*\1 - u /                                   
 |                                              
/                                               
  
= -log(1 + u)/4 + log(-1 + u)/4
hacemos cambio inverso
u = cos(x)
Respuesta
  /                                                       
 |                                                        
 |    1            log(1 + cos(x))   log(-1 + cos(x))     
 | -------- dx = - --------------- + ---------------- + C0
 | 2*sin(x)               4                 4             
 |                                                        
/
donde C0 es la constante que no depende de x
Respuesta (Indefinida) [src] 
  /                     /   /x\\
 |                   log|tan|-||
 |    1                 \   \2//
 | -------- dx = C + -----------
 | 2*sin(x)               2     
 |                              
/
∫12sin⁡(x) dx=C+log⁡(tan⁡(x2))2\int \frac{1}{2 \sin{\left(x \right)}}\, dx = C + \frac{\log{\left(\tan{\left(\frac{x}{2} \right)} \right)}}{2}
Simplificar
Gráfica
0.000.250.500.751.001.251.501.752.002.252.502.753.0005000000000000000
Trazar el gráfico f(x)
Respuesta [src] 
oo
∞\infty 
=
= 
oo
∞\infty 
oo
Respuesta numérica [src] 
40.484462875053
40.484462875053

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.

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