Integral de ln(2x-1) dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. que $u = 2 x - 1$.

      Luego que $du = 2 dx$ y ponemos $\frac{du}{2}$:

      $\int \frac{\log{\left(u \right)}}{2}\, du$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \log{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \log{\left(u \right)}\, du}{2}$

         1. Usamos la integración por partes:

            $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

            que $u{\left(u \right)} = \log{\left(u \right)}$ y que $\operatorname{dv}{\left(u \right)} = 1$.

            Entonces $\operatorname{du}{\left(u \right)} = \frac{1}{u}$.

            Para buscar $v{\left(u \right)}$:

            1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

               $\int 1\, du = u$

            Ahora resolvemos podintegral.

         2. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

            $\int 1\, du = u$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{u \log{\left(u \right)}}{2} - \frac{u}{2}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $- x + \frac{\left(2 x - 1\right) \log{\left(2 x - 1 \right)}}{2} + \frac{1}{2}$

   Método #2

   1. Usamos la integración por partes:

      $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

      que $u{\left(x \right)} = \log{\left(2 x - 1 \right)}$ y que $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = 1$.

      Entonces $\operatorname{du}{\left(x \right)} = \frac{2}{2 x - 1}$.

      Para buscar $v{\left(x \right)}$:

      1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

         $\int 1\, dx = x$

      Ahora resolvemos podintegral.

   2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int \frac{2 x}{2 x - 1}\, dx = 2 \int \frac{x}{2 x - 1}\, dx$

      1. Vuelva a escribir el integrando:

         $\frac{x}{2 x - 1} = \frac{1}{2} + \frac{1}{2 \left(2 x - 1\right)}$

      2. Integramos término a término:

         1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

            $\int \frac{1}{2}\, dx = \frac{x}{2}$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \frac{1}{2 \left(2 x - 1\right)}\, dx = \frac{\int \frac{1}{2 x - 1}\, dx}{2}$

            1. que $u = 2 x - 1$.

               Luego que $du = 2 dx$ y ponemos $\frac{du}{2}$:

               $\int \frac{1}{2 u}\, du$

               1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  $\int \frac{1}{u}\, du = \frac{\int \frac{1}{u}\, du}{2}$

                  1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

                  Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\log{\left(u \right)}}{2}$

               Si ahora sustituir $u$ más en:

               $\frac{\log{\left(2 x - 1 \right)}}{2}$

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\log{\left(2 x - 1 \right)}}{4}$

         El resultado es: $\frac{x}{2} + \frac{\log{\left(2 x - 1 \right)}}{4}$

      Por lo tanto, el resultado es: $x + \frac{\log{\left(2 x - 1 \right)}}{2}$

2. Ahora simplificar:

   $- x + \frac{\left(2 x - 1\right) \log{\left(2 x - 1 \right)}}{2} + \frac{1}{2}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $- x + \frac{\left(2 x - 1\right) \log{\left(2 x - 1 \right)}}{2} + \frac{1}{2}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$- x + \frac{\left(2 x - 1\right) \log{\left(2 x - 1 \right)}}{2} + \frac{1}{2}+ \mathrm{constant}$