Integral de (arcosx^3)-1/sqrt(1-x^2) dx
Solución
Solución detallada
Integramos término a término:
No puedo encontrar los pasos en la búsqueda de esta integral.
Pero la integral
x acos 3 ( x ) − 6 x acos ( x ) − 3 1 − x 2 acos 2 ( x ) + 6 1 − x 2 x \operatorname{acos}^{3}{\left(x \right)} - 6 x \operatorname{acos}{\left(x \right)} - 3 \sqrt{1 - x^{2}} \operatorname{acos}^{2}{\left(x \right)} + 6 \sqrt{1 - x^{2}} x acos 3 ( x ) − 6 x acos ( x ) − 3 1 − x 2 acos 2 ( x ) + 6 1 − x 2
La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
∫ ( − 1 1 − x 2 ) d x = − ∫ 1 1 − x 2 d x \int \left(- \frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}\right)\, dx = - \int \frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}\, dx ∫ ( − 1 − x 2 1 ) d x = − ∫ 1 − x 2 1 d x
TrigSubstitutionRule(theta=_theta, func=sin(_theta), rewritten=1, substep=ConstantRule(constant=1, context=1, symbol=_theta), restriction=(x > -1) & (x < 1), context=1/(sqrt(1 - x**2)), symbol=x)
Por lo tanto, el resultado es: − { asin ( x ) for x > − 1 ∧ x < 1 - \begin{cases} \operatorname{asin}{\left(x \right)} & \text{for}\: x > -1 \wedge x < 1 \end{cases} − { asin ( x ) for x > − 1 ∧ x < 1
El resultado es: x acos 3 ( x ) − 6 x acos ( x ) − 3 1 − x 2 acos 2 ( x ) + 6 1 − x 2 − { asin ( x ) for x > − 1 ∧ x < 1 x \operatorname{acos}^{3}{\left(x \right)} - 6 x \operatorname{acos}{\left(x \right)} - 3 \sqrt{1 - x^{2}} \operatorname{acos}^{2}{\left(x \right)} + 6 \sqrt{1 - x^{2}} - \begin{cases} \operatorname{asin}{\left(x \right)} & \text{for}\: x > -1 \wedge x < 1 \end{cases} x acos 3 ( x ) − 6 x acos ( x ) − 3 1 − x 2 acos 2 ( x ) + 6 1 − x 2 − { asin ( x ) for x > − 1 ∧ x < 1
Ahora simplificar:
{ x acos 3 ( x ) − 6 x acos ( x ) − 3 1 − x 2 acos 2 ( x ) + 6 1 − x 2 − asin ( x ) for x > − 1 ∧ x < 1 \begin{cases} x \operatorname{acos}^{3}{\left(x \right)} - 6 x \operatorname{acos}{\left(x \right)} - 3 \sqrt{1 - x^{2}} \operatorname{acos}^{2}{\left(x \right)} + 6 \sqrt{1 - x^{2}} - \operatorname{asin}{\left(x \right)} & \text{for}\: x > -1 \wedge x < 1 \end{cases} { x acos 3 ( x ) − 6 x acos ( x ) − 3 1 − x 2 acos 2 ( x ) + 6 1 − x 2 − asin ( x ) for x > − 1 ∧ x < 1
Añadimos la constante de integración:
{ x acos 3 ( x ) − 6 x acos ( x ) − 3 1 − x 2 acos 2 ( x ) + 6 1 − x 2 − asin ( x ) for x > − 1 ∧ x < 1 + c o n s t a n t \begin{cases} x \operatorname{acos}^{3}{\left(x \right)} - 6 x \operatorname{acos}{\left(x \right)} - 3 \sqrt{1 - x^{2}} \operatorname{acos}^{2}{\left(x \right)} + 6 \sqrt{1 - x^{2}} - \operatorname{asin}{\left(x \right)} & \text{for}\: x > -1 \wedge x < 1 \end{cases}+ \mathrm{constant} { x acos 3 ( x ) − 6 x acos ( x ) − 3 1 − x 2 acos 2 ( x ) + 6 1 − x 2 − asin ( x ) for x > − 1 ∧ x < 1 + constant
Respuesta:
{ x acos 3 ( x ) − 6 x acos ( x ) − 3 1 − x 2 acos 2 ( x ) + 6 1 − x 2 − asin ( x ) for x > − 1 ∧ x < 1 + c o n s t a n t \begin{cases} x \operatorname{acos}^{3}{\left(x \right)} - 6 x \operatorname{acos}{\left(x \right)} - 3 \sqrt{1 - x^{2}} \operatorname{acos}^{2}{\left(x \right)} + 6 \sqrt{1 - x^{2}} - \operatorname{asin}{\left(x \right)} & \text{for}\: x > -1 \wedge x < 1 \end{cases}+ \mathrm{constant} { x acos 3 ( x ) − 6 x acos ( x ) − 3 1 − x 2 acos 2 ( x ) + 6 1 − x 2 − asin ( x ) for x > − 1 ∧ x < 1 + constant
Respuesta (Indefinida)
[src]
/
| ________ ________
| / 3 1 \ / 2 3 / 2 2
| |acos (x) - -----------| dx = C - ({asin(x) for And(x > -1, x < 1)) + 6*\/ 1 - x + x*acos (x) - 6*x*acos(x) - 3*\/ 1 - x *acos (x)
| | ________|
| | / 2 |
| \ \/ 1 - x /
|
/
∫ ( acos 3 ( x ) − 1 1 − x 2 ) d x = C + x acos 3 ( x ) − 6 x acos ( x ) − 3 1 − x 2 acos 2 ( x ) + 6 1 − x 2 − { asin ( x ) for x > − 1 ∧ x < 1 \int \left(\operatorname{acos}^{3}{\left(x \right)} - \frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}\right)\, dx = C + x \operatorname{acos}^{3}{\left(x \right)} - 6 x \operatorname{acos}{\left(x \right)} - 3 \sqrt{1 - x^{2}} \operatorname{acos}^{2}{\left(x \right)} + 6 \sqrt{1 - x^{2}} - \begin{cases} \operatorname{asin}{\left(x \right)} & \text{for}\: x > -1 \wedge x < 1 \end{cases} ∫ ( acos 3 ( x ) − 1 − x 2 1 ) d x = C + x acos 3 ( x ) − 6 x acos ( x ) − 3 1 − x 2 acos 2 ( x ) + 6 1 − x 2 − { asin ( x ) for x > − 1 ∧ x < 1
Gráfica
0.00 1.00 0.10 0.20 0.30 0.40 0.50 0.60 0.70 0.80 0.90 -100 100
2
pi 3*pi
-6 - -- + -----
2 4
− 6 − π 2 + 3 π 2 4 -6 - \frac{\pi}{2} + \frac{3 \pi^{2}}{4} − 6 − 2 π + 4 3 π 2
=
2
pi 3*pi
-6 - -- + -----
2 4
− 6 − π 2 + 3 π 2 4 -6 - \frac{\pi}{2} + \frac{3 \pi^{2}}{4} − 6 − 2 π + 4 3 π 2
Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.