Integral de exp(7-8x)*cosx dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $e^{7 - 8 x} \cos{\left(x \right)} = e^{7} e^{- 8 x} \cos{\left(x \right)}$

   2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int e^{7} e^{- 8 x} \cos{\left(x \right)}\, dx = e^{7} \int e^{- 8 x} \cos{\left(x \right)}\, dx$

      1. Usamos la integración por partes, notamos que al fin de cuentas el integrando se repite.

         1. Para el integrando $e^{- 8 x} \cos{\left(x \right)}$:

            que $u{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}$ y que $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = e^{- 8 x}$.

            Entonces $\int e^{- 8 x} \cos{\left(x \right)}\, dx = - \int \frac{e^{- 8 x} \sin{\left(x \right)}}{8}\, dx - \frac{e^{- 8 x} \cos{\left(x \right)}}{8}$.

         2. Para el integrando $\frac{e^{- 8 x} \sin{\left(x \right)}}{8}$:

            que $u{\left(x \right)} = \frac{\sin{\left(x \right)}}{8}$ y que $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = e^{- 8 x}$.

            Entonces $\int e^{- 8 x} \cos{\left(x \right)}\, dx = \int \left(- \frac{e^{- 8 x} \cos{\left(x \right)}}{64}\right)\, dx + \frac{e^{- 8 x} \sin{\left(x \right)}}{64} - \frac{e^{- 8 x} \cos{\left(x \right)}}{8}$.

         3. Tenga en cuenta que el integrando se repite, por eso lo movemos hacia el lado:

            $\frac{65 \int e^{- 8 x} \cos{\left(x \right)}\, dx}{64} = \frac{e^{- 8 x} \sin{\left(x \right)}}{64} - \frac{e^{- 8 x} \cos{\left(x \right)}}{8}$

            Por lo tanto,

            $\int e^{- 8 x} \cos{\left(x \right)}\, dx = \frac{e^{- 8 x} \sin{\left(x \right)}}{65} - \frac{8 e^{- 8 x} \cos{\left(x \right)}}{65}$

      Por lo tanto, el resultado es: $\left(\frac{e^{- 8 x} \sin{\left(x \right)}}{65} - \frac{8 e^{- 8 x} \cos{\left(x \right)}}{65}\right) e^{7}$

   Método #2

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $e^{7 - 8 x} \cos{\left(x \right)} = e^{7} e^{- 8 x} \cos{\left(x \right)}$

   2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int e^{7} e^{- 8 x} \cos{\left(x \right)}\, dx = e^{7} \int e^{- 8 x} \cos{\left(x \right)}\, dx$

      1. Usamos la integración por partes, notamos que al fin de cuentas el integrando se repite.

         1. Para el integrando $e^{- 8 x} \cos{\left(x \right)}$:

            que $u{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}$ y que $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = e^{- 8 x}$.

            Entonces $\int e^{- 8 x} \cos{\left(x \right)}\, dx = - \int \frac{e^{- 8 x} \sin{\left(x \right)}}{8}\, dx - \frac{e^{- 8 x} \cos{\left(x \right)}}{8}$.

         2. Para el integrando $\frac{e^{- 8 x} \sin{\left(x \right)}}{8}$:

            que $u{\left(x \right)} = \frac{\sin{\left(x \right)}}{8}$ y que $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = e^{- 8 x}$.

            Entonces $\int e^{- 8 x} \cos{\left(x \right)}\, dx = \int \left(- \frac{e^{- 8 x} \cos{\left(x \right)}}{64}\right)\, dx + \frac{e^{- 8 x} \sin{\left(x \right)}}{64} - \frac{e^{- 8 x} \cos{\left(x \right)}}{8}$.

         3. Tenga en cuenta que el integrando se repite, por eso lo movemos hacia el lado:

            $\frac{65 \int e^{- 8 x} \cos{\left(x \right)}\, dx}{64} = \frac{e^{- 8 x} \sin{\left(x \right)}}{64} - \frac{e^{- 8 x} \cos{\left(x \right)}}{8}$

            Por lo tanto,

            $\int e^{- 8 x} \cos{\left(x \right)}\, dx = \frac{e^{- 8 x} \sin{\left(x \right)}}{65} - \frac{8 e^{- 8 x} \cos{\left(x \right)}}{65}$

      Por lo tanto, el resultado es: $\left(\frac{e^{- 8 x} \sin{\left(x \right)}}{65} - \frac{8 e^{- 8 x} \cos{\left(x \right)}}{65}\right) e^{7}$

2. Ahora simplificar:

   $\frac{\left(\sin{\left(x \right)} - 8 \cos{\left(x \right)}\right) e^{7 - 8 x}}{65}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $\frac{\left(\sin{\left(x \right)} - 8 \cos{\left(x \right)}\right) e^{7 - 8 x}}{65}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{\left(\sin{\left(x \right)} - 8 \cos{\left(x \right)}\right) e^{7 - 8 x}}{65}+ \mathrm{constant}$