Integral de exp(4*cos(x)-1)*sin(x) dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. que $u = 4 \cos{\left(x \right)} - 1$.

      Luego que $du = - 4 \sin{\left(x \right)} dx$ y ponemos $- \frac{du}{4}$:

      $\int \left(- \frac{e^{u}}{4}\right)\, du$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\text{False}$

         1. La integral de la función exponencial es la mesma.

            $\int e^{u}\, du = e^{u}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{e^{u}}{4}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $- \frac{e^{4 \cos{\left(x \right)} - 1}}{4}$

   Método #2

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $e^{4 \cos{\left(x \right)} - 1} \sin{\left(x \right)} = \frac{e^{4 \cos{\left(x \right)}} \sin{\left(x \right)}}{e}$

   2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int \frac{e^{4 \cos{\left(x \right)}} \sin{\left(x \right)}}{e}\, dx = \frac{\int e^{4 \cos{\left(x \right)}} \sin{\left(x \right)}\, dx}{e}$

      1. que $u = 4 \cos{\left(x \right)}$.

         Luego que $du = - 4 \sin{\left(x \right)} dx$ y ponemos $- \frac{du}{4}$:

         $\int \left(- \frac{e^{u}}{4}\right)\, du$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\text{False}$

            1. La integral de la función exponencial es la mesma.

               $\int e^{u}\, du = e^{u}$

            Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{e^{u}}{4}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $- \frac{e^{4 \cos{\left(x \right)}}}{4}$

      Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{e^{4 \cos{\left(x \right)}}}{4 e}$

   Método #3

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $e^{4 \cos{\left(x \right)} - 1} \sin{\left(x \right)} = \frac{e^{4 \cos{\left(x \right)}} \sin{\left(x \right)}}{e}$

   2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int \frac{e^{4 \cos{\left(x \right)}} \sin{\left(x \right)}}{e}\, dx = \frac{\int e^{4 \cos{\left(x \right)}} \sin{\left(x \right)}\, dx}{e}$

      1. que $u = 4 \cos{\left(x \right)}$.

         Luego que $du = - 4 \sin{\left(x \right)} dx$ y ponemos $- \frac{du}{4}$:

         $\int \left(- \frac{e^{u}}{4}\right)\, du$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\text{False}$

            1. La integral de la función exponencial es la mesma.

               $\int e^{u}\, du = e^{u}$

            Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{e^{u}}{4}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $- \frac{e^{4 \cos{\left(x \right)}}}{4}$

      Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{e^{4 \cos{\left(x \right)}}}{4 e}$

2. Ahora simplificar:

   $- \frac{e^{4 \cos{\left(x \right)} - 1}}{4}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $- \frac{e^{4 \cos{\left(x \right)} - 1}}{4}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$- \frac{e^{4 \cos{\left(x \right)} - 1}}{4}+ \mathrm{constant}$