Integral de 1/x^2*(√x^2-1) dx

1. que $u = \sqrt{x}$.

   Luego que $du = \frac{dx}{2 \sqrt{x}}$ y ponemos $du$:

   $\int \frac{2 u^{2} - 2}{u^{3}}\, du$

   1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

      Método #1

      1. que $u = 2 u^{2}$.

         Luego que $du = 4 u du$ y ponemos $du$:

         $\int \frac{u - 2}{u^{2}}\, du$

         1. Vuelva a escribir el integrando:

            $\frac{u - 2}{u^{2}} = \frac{1}{u} - \frac{2}{u^{2}}$

         2. Integramos término a término:

            1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \left(- \frac{2}{u^{2}}\right)\, du = - 2 \int \frac{1}{u^{2}}\, du$

               1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                  $\int \frac{1}{u^{2}}\, du = - \frac{1}{u}$

               Por lo tanto, el resultado es: $\frac{2}{u}$

            El resultado es: $\log{\left(u \right)} + \frac{2}{u}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $\log{\left(2 u^{2} \right)} + \frac{1}{u^{2}}$

      Método #2

      1. Vuelva a escribir el integrando:

         $\frac{2 u^{2} - 2}{u^{3}} = \frac{2}{u} - \frac{2}{u^{3}}$

      2. Integramos término a término:

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \frac{2}{u}\, du = 2 \int \frac{1}{u}\, du$

            1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

            Por lo tanto, el resultado es: $2 \log{\left(u \right)}$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \left(- \frac{2}{u^{3}}\right)\, du = - 2 \int \frac{1}{u^{3}}\, du$

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int \frac{1}{u^{3}}\, du = - \frac{1}{2 u^{2}}$

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{1}{u^{2}}$

         El resultado es: $2 \log{\left(u \right)} + \frac{1}{u^{2}}$

   Si ahora sustituir $u$ más en:

   $\log{\left(2 x \right)} + \frac{1}{x}$

2. Añadimos la constante de integración:

   $\log{\left(2 x \right)} + \frac{1}{x}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\log{\left(2 x \right)} + \frac{1}{x}+ \mathrm{constant}$