Integral de arctan(x/2) dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. que $u = \frac{x}{2}$.

      Luego que $du = \frac{dx}{2}$ y ponemos $2 du$:

      $\int 2 \operatorname{atan}{\left(u \right)}\, du$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \operatorname{atan}{\left(u \right)}\, du = 2 \int \operatorname{atan}{\left(u \right)}\, du$

         1. Usamos la integración por partes:

            $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

            que $u{\left(u \right)} = \operatorname{atan}{\left(u \right)}$ y que $\operatorname{dv}{\left(u \right)} = 1$.

            Entonces $\operatorname{du}{\left(u \right)} = \frac{1}{u^{2} + 1}$.

            Para buscar $v{\left(u \right)}$:

            1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

               $\int 1\, du = u$

            Ahora resolvemos podintegral.

         2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \frac{u}{u^{2} + 1}\, du = \frac{\int \frac{2 u}{u^{2} + 1}\, du}{2}$

            1. que $u = u^{2} + 1$.

               Luego que $du = 2 u du$ y ponemos $\frac{du}{2}$:

               $\int \frac{1}{2 u}\, du$

               1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

               Si ahora sustituir $u$ más en:

               $\log{\left(u^{2} + 1 \right)}$

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\log{\left(u^{2} + 1 \right)}}{2}$

         Por lo tanto, el resultado es: $2 u \operatorname{atan}{\left(u \right)} - \log{\left(u^{2} + 1 \right)}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $x \operatorname{atan}{\left(\frac{x}{2} \right)} - \log{\left(\frac{x^{2}}{4} + 1 \right)}$

   Método #2

   1. Usamos la integración por partes:

      $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

      que $u{\left(x \right)} = \operatorname{atan}{\left(\frac{x}{2} \right)}$ y que $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = 1$.

      Entonces $\operatorname{du}{\left(x \right)} = \frac{1}{2 \left(\frac{x^{2}}{4} + 1\right)}$.

      Para buscar $v{\left(x \right)}$:

      1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

         $\int 1\, dx = x$

      Ahora resolvemos podintegral.

   2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int \frac{x}{2 \left(\frac{x^{2}}{4} + 1\right)}\, dx = \frac{\int \frac{x}{\frac{x^{2}}{4} + 1}\, dx}{2}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{x}{\frac{x^{2}}{4} + 1}\, dx = 2 \int \frac{x}{2 \left(\frac{x^{2}}{4} + 1\right)}\, dx$

         1. que $u = \frac{x^{2}}{4} + 1$.

            Luego que $du = \frac{x dx}{2}$ y ponemos $2 du$:

            $\int \frac{2}{u}\, du$

            1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $\log{\left(\frac{x^{2}}{4} + 1 \right)}$

         Por lo tanto, el resultado es: $2 \log{\left(\frac{x^{2}}{4} + 1 \right)}$

      Por lo tanto, el resultado es: $\log{\left(\frac{x^{2}}{4} + 1 \right)}$

2. Ahora simplificar:

   $x \operatorname{atan}{\left(\frac{x}{2} \right)} - \log{\left(\frac{x^{2}}{4} + 1 \right)}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $x \operatorname{atan}{\left(\frac{x}{2} \right)} - \log{\left(\frac{x^{2}}{4} + 1 \right)}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$x \operatorname{atan}{\left(\frac{x}{2} \right)} - \log{\left(\frac{x^{2}}{4} + 1 \right)}+ \mathrm{constant}$