Integral de cbrt(3*cos(5x))*sin(5*x) dx

1. que $u = 5 x$.

   Luego que $du = 5 dx$ y ponemos $\frac{\sqrt[3]{3} du}{5}$:

   $\int \frac{\sqrt[3]{3} \sin{\left(u \right)} \sqrt[3]{\cos{\left(u \right)}}}{5}\, du$

   1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int \sin{\left(u \right)} \sqrt[3]{\cos{\left(u \right)}}\, du = \frac{\sqrt[3]{3} \int \sin{\left(u \right)} \sqrt[3]{\cos{\left(u \right)}}\, du}{5}$

      1. que $u = \cos{\left(u \right)}$.

         Luego que $du = - \sin{\left(u \right)} du$ y ponemos $- du$:

         $\int \left(- \sqrt[3]{u}\right)\, du$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \sqrt[3]{u}\, du = - \int \sqrt[3]{u}\, du$

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int \sqrt[3]{u}\, du = \frac{3 u^{\frac{4}{3}}}{4}$

            Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{3 u^{\frac{4}{3}}}{4}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $- \frac{3 \cos^{\frac{4}{3}}{\left(u \right)}}{4}$

      Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{3 \sqrt[3]{3} \cos^{\frac{4}{3}}{\left(u \right)}}{20}$

   Si ahora sustituir $u$ más en:

   $- \frac{3 \sqrt[3]{3} \cos^{\frac{4}{3}}{\left(5 x \right)}}{20}$

2. Añadimos la constante de integración:

   $- \frac{3 \sqrt[3]{3} \cos^{\frac{4}{3}}{\left(5 x \right)}}{20}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$- \frac{3 \sqrt[3]{3} \cos^{\frac{4}{3}}{\left(5 x \right)}}{20}+ \mathrm{constant}$