Integral de xln(1-3x) dx

1. Usamos la integración por partes:

   $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

   que $u{\left(x \right)} = \log{\left(1 - 3 x \right)}$ y que $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = x$.

   Entonces $\operatorname{du}{\left(x \right)} = - \frac{3}{1 - 3 x}$.

   Para buscar $v{\left(x \right)}$:

   1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

      $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$

   Ahora resolvemos podintegral.

2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

   $\int \left(- \frac{3 x^{2}}{2 \left(1 - 3 x\right)}\right)\, dx = - \frac{3 \int \frac{x^{2}}{1 - 3 x}\, dx}{2}$

   1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

      Método #1

      1. Vuelva a escribir el integrando:

         $\frac{x^{2}}{1 - 3 x} = - \frac{x}{3} - \frac{1}{9} - \frac{1}{9 \left(3 x - 1\right)}$

      2. Integramos término a término:

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \left(- \frac{x}{3}\right)\, dx = - \frac{\int x\, dx}{3}$

            1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$

            Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{x^{2}}{6}$

         1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

            $\int \left(- \frac{1}{9}\right)\, dx = - \frac{x}{9}$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \left(- \frac{1}{9 \left(3 x - 1\right)}\right)\, dx = - \frac{\int \frac{1}{3 x - 1}\, dx}{9}$

            1. que $u = 3 x - 1$.

               Luego que $du = 3 dx$ y ponemos $\frac{du}{3}$:

               $\int \frac{1}{3 u}\, du$

               1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  $\int \frac{1}{u}\, du = \frac{\int \frac{1}{u}\, du}{3}$

                  1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

                  Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\log{\left(u \right)}}{3}$

               Si ahora sustituir $u$ más en:

               $\frac{\log{\left(3 x - 1 \right)}}{3}$

            Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{\log{\left(3 x - 1 \right)}}{27}$

         El resultado es: $- \frac{x^{2}}{6} - \frac{x}{9} - \frac{\log{\left(3 x - 1 \right)}}{27}$

      Método #2

      1. Vuelva a escribir el integrando:

         $\frac{x^{2}}{1 - 3 x} = - \frac{x^{2}}{3 x - 1}$

      2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- \frac{x^{2}}{3 x - 1}\right)\, dx = - \int \frac{x^{2}}{3 x - 1}\, dx$

         1. Vuelva a escribir el integrando:

            $\frac{x^{2}}{3 x - 1} = \frac{x}{3} + \frac{1}{9} + \frac{1}{9 \left(3 x - 1\right)}$

         2. Integramos término a término:

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \frac{x}{3}\, dx = \frac{\int x\, dx}{3}$

               1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                  $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$

               Por lo tanto, el resultado es: $\frac{x^{2}}{6}$

            1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

               $\int \frac{1}{9}\, dx = \frac{x}{9}$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \frac{1}{9 \left(3 x - 1\right)}\, dx = \frac{\int \frac{1}{3 x - 1}\, dx}{9}$

               1. que $u = 3 x - 1$.

                  Luego que $du = 3 dx$ y ponemos $\frac{du}{3}$:

                  $\int \frac{1}{3 u}\, du$

                  1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                     $\int \frac{1}{u}\, du = \frac{\int \frac{1}{u}\, du}{3}$

                     1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

                     Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\log{\left(u \right)}}{3}$

                  Si ahora sustituir $u$ más en:

                  $\frac{\log{\left(3 x - 1 \right)}}{3}$

               Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\log{\left(3 x - 1 \right)}}{27}$

            El resultado es: $\frac{x^{2}}{6} + \frac{x}{9} + \frac{\log{\left(3 x - 1 \right)}}{27}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{x^{2}}{6} - \frac{x}{9} - \frac{\log{\left(3 x - 1 \right)}}{27}$

   Por lo tanto, el resultado es: $\frac{x^{2}}{4} + \frac{x}{6} + \frac{\log{\left(3 x - 1 \right)}}{18}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $\frac{x^{2} \log{\left(1 - 3 x \right)}}{2} - \frac{x^{2}}{4} - \frac{x}{6} - \frac{\log{\left(3 x - 1 \right)}}{18}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{x^{2} \log{\left(1 - 3 x \right)}}{2} - \frac{x^{2}}{4} - \frac{x}{6} - \frac{\log{\left(3 x - 1 \right)}}{18}+ \mathrm{constant}$