Integral de sin(lnx)/sqrt(x) dx

1. que $u = \log{\left(x \right)}$.

   Luego que $du = \frac{dx}{x}$ y ponemos $du$:

   $\int e^{\frac{u}{2}} \sin{\left(u \right)}\, du$

   1. Usamos la integración por partes, notamos que al fin de cuentas el integrando se repite.

      1. Para el integrando $e^{\frac{u}{2}} \sin{\left(u \right)}$:

         que $u{\left(u \right)} = \sin{\left(u \right)}$ y que $\operatorname{dv}{\left(u \right)} = e^{\frac{u}{2}}$.

         Entonces $\int e^{\frac{u}{2}} \sin{\left(u \right)}\, du = 2 e^{\frac{u}{2}} \sin{\left(u \right)} - \int 2 e^{\frac{u}{2}} \cos{\left(u \right)}\, du$.

      2. Para el integrando $2 e^{\frac{u}{2}} \cos{\left(u \right)}$:

         que $u{\left(u \right)} = 2 \cos{\left(u \right)}$ y que $\operatorname{dv}{\left(u \right)} = e^{\frac{u}{2}}$.

         Entonces $\int e^{\frac{u}{2}} \sin{\left(u \right)}\, du = 2 e^{\frac{u}{2}} \sin{\left(u \right)} - 4 e^{\frac{u}{2}} \cos{\left(u \right)} + \int \left(- 4 e^{\frac{u}{2}} \sin{\left(u \right)}\right)\, du$.

      3. Tenga en cuenta que el integrando se repite, por eso lo movemos hacia el lado:

         $5 \int e^{\frac{u}{2}} \sin{\left(u \right)}\, du = 2 e^{\frac{u}{2}} \sin{\left(u \right)} - 4 e^{\frac{u}{2}} \cos{\left(u \right)}$

         Por lo tanto,

         $\int e^{\frac{u}{2}} \sin{\left(u \right)}\, du = \frac{2 e^{\frac{u}{2}} \sin{\left(u \right)}}{5} - \frac{4 e^{\frac{u}{2}} \cos{\left(u \right)}}{5}$

   Si ahora sustituir $u$ más en:

   $\frac{2 \sqrt{x} \sin{\left(\log{\left(x \right)} \right)}}{5} - \frac{4 \sqrt{x} \cos{\left(\log{\left(x \right)} \right)}}{5}$

2. Ahora simplificar:

   $\frac{2 \sqrt{x} \left(\sin{\left(\log{\left(x \right)} \right)} - 2 \cos{\left(\log{\left(x \right)} \right)}\right)}{5}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $\frac{2 \sqrt{x} \left(\sin{\left(\log{\left(x \right)} \right)} - 2 \cos{\left(\log{\left(x \right)} \right)}\right)}{5}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{2 \sqrt{x} \left(\sin{\left(\log{\left(x \right)} \right)} - 2 \cos{\left(\log{\left(x \right)} \right)}\right)}{5}+ \mathrm{constant}$