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Resolución de integrales/ x^2-1/ lnx^2/ lnx/(x*(lnx^2-1))

Integral de lnx/(x*(lnx^2-1)) dx

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
  2                   
 e                    
  /                   
 |                    
 |       log(x)       
 |  --------------- dx
 |    /   2       \   
 |  x*\log (x) - 1/   
 |                    
/                     
1
∫1e2log⁡(x)x(log⁡(x)2−1) dx\int\limits_{1}^{e^{2}} \frac{\log{\left(x \right)}}{x \left(\log{\left(x \right)}^{2} - 1\right)}\, dx 
Integral(log(x)/((x*(log(x)^2 - 1))), (x, 1, exp(2)))
Solución detallada

  1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

    Método #1

    1. que u=log⁡(x)u = \log{\left(x \right)}.

      Luego que du=dxxdu = \frac{dx}{x} y ponemos dudu:

      ∫uu2−1 du\int \frac{u}{u^{2} - 1}\, du

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫uu2−1 du=∫2uu2−1 du2\int \frac{u}{u^{2} - 1}\, du = \frac{\int \frac{2 u}{u^{2} - 1}\, du}{2}

        1. que u=u2−1u = u^{2} - 1.

          Luego que du=2ududu = 2 u du y ponemos du2\frac{du}{2}:

          ∫12u du\int \frac{1}{2 u}\, du

          1. Integral 1u\frac{1}{u} es log⁡(u)\log{\left(u \right)}.

          Si ahora sustituir uu más en:

          log⁡(u2−1)\log{\left(u^{2} - 1 \right)}

        Por lo tanto, el resultado es: log⁡(u2−1)2\frac{\log{\left(u^{2} - 1 \right)}}{2}

      Si ahora sustituir uu más en:

      log⁡(log⁡(x)2−1)2\frac{\log{\left(\log{\left(x \right)}^{2} - 1 \right)}}{2}

    Método #2

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      log⁡(x)x(log⁡(x)2−1)=log⁡(x)xlog⁡(x)2−x\frac{\log{\left(x \right)}}{x \left(\log{\left(x \right)}^{2} - 1\right)} = \frac{\log{\left(x \right)}}{x \log{\left(x \right)}^{2} - x}

    2. que u=log⁡(x)2u = \log{\left(x \right)}^{2}.

      Luego que du=2log⁡(x)dxxdu = \frac{2 \log{\left(x \right)} dx}{x} y ponemos dudu:

      ∫12u−2 du\int \frac{1}{2 u - 2}\, du

      1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

        Método #1

        1. que u=2u−2u = 2 u - 2.

          Luego que du=2dudu = 2 du y ponemos du2\frac{du}{2}:

          ∫12u du\int \frac{1}{2 u}\, du

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫1u du=∫1u du2\int \frac{1}{u}\, du = \frac{\int \frac{1}{u}\, du}{2}

            1. Integral 1u\frac{1}{u} es log⁡(u)\log{\left(u \right)}.

            Por lo tanto, el resultado es: log⁡(u)2\frac{\log{\left(u \right)}}{2}

          Si ahora sustituir uu más en:

          log⁡(2u−2)2\frac{\log{\left(2 u - 2 \right)}}{2}

        Método #2

        1. Vuelva a escribir el integrando:

          12u−2=12(u−1)\frac{1}{2 u - 2} = \frac{1}{2 \left(u - 1\right)}

        2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫12(u−1) du=∫1u−1 du2\int \frac{1}{2 \left(u - 1\right)}\, du = \frac{\int \frac{1}{u - 1}\, du}{2}

          1. que u=u−1u = u - 1.

            Luego que du=dudu = du y ponemos dudu:

            ∫1u du\int \frac{1}{u}\, du

            1. Integral 1u\frac{1}{u} es log⁡(u)\log{\left(u \right)}.

            Si ahora sustituir uu más en:

            log⁡(u−1)\log{\left(u - 1 \right)}

          Por lo tanto, el resultado es: log⁡(u−1)2\frac{\log{\left(u - 1 \right)}}{2}

      Si ahora sustituir uu más en:

      log⁡(2log⁡(x)2−2)2\frac{\log{\left(2 \log{\left(x \right)}^{2} - 2 \right)}}{2}

    Método #3

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      log⁡(x)x(log⁡(x)2−1)=log⁡(x)xlog⁡(x)2−x\frac{\log{\left(x \right)}}{x \left(\log{\left(x \right)}^{2} - 1\right)} = \frac{\log{\left(x \right)}}{x \log{\left(x \right)}^{2} - x}

    2. que u=log⁡(x)2u = \log{\left(x \right)}^{2}.

      Luego que du=2log⁡(x)dxxdu = \frac{2 \log{\left(x \right)} dx}{x} y ponemos dudu:

      ∫12u−2 du\int \frac{1}{2 u - 2}\, du

      1. que u=2u−2u = 2 u - 2.

        Luego que du=2dudu = 2 du y ponemos du2\frac{du}{2}:

        ∫12u du\int \frac{1}{2 u}\, du

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫1u du=∫1u du2\int \frac{1}{u}\, du = \frac{\int \frac{1}{u}\, du}{2}

          1. Integral 1u\frac{1}{u} es log⁡(u)\log{\left(u \right)}.

          Por lo tanto, el resultado es: log⁡(u)2\frac{\log{\left(u \right)}}{2}

        Si ahora sustituir uu más en:

        log⁡(2u−2)2\frac{\log{\left(2 u - 2 \right)}}{2}

      Si ahora sustituir uu más en:

      log⁡(2log⁡(x)2−2)2\frac{\log{\left(2 \log{\left(x \right)}^{2} - 2 \right)}}{2}

  2. Añadimos la constante de integración:

    log⁡(log⁡(x)2−1)2+constant\frac{\log{\left(\log{\left(x \right)}^{2} - 1 \right)}}{2}+ \mathrm{constant}

Respuesta:

log⁡(log⁡(x)2−1)2+constant\frac{\log{\left(\log{\left(x \right)}^{2} - 1 \right)}}{2}+ \mathrm{constant}

Respuesta (Indefinida) [src] 
  /                                          
 |                             /        2   \
 |      log(x)              log\-1 + log (x)/
 | --------------- dx = C + -----------------
 |   /   2       \                  2        
 | x*\log (x) - 1/                           
 |                                           
/
∫log⁡(x)x(log⁡(x)2−1) dx=C+log⁡(log⁡(x)2−1)2\int \frac{\log{\left(x \right)}}{x \left(\log{\left(x \right)}^{2} - 1\right)}\, dx = C + \frac{\log{\left(\log{\left(x \right)}^{2} - 1 \right)}}{2}
Simplificar
Gráfica
1.01.52.02.53.03.54.04.55.05.56.06.57.0-500010000
Trazar el gráfico f(x)
Respuesta [src] 
nan
NaN\text{NaN} 
=
= 
nan
NaN\text{NaN} 
nan
Respuesta numérica [src] 
12.2117076648912
12.2117076648912

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.

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