Integral de e^(-2x)×sin(2x) dx

Solución

Ha introducido [src]

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  /                  
 |                   
 |   -2*x            
 |  E    *sin(2*x) dx
 |                   
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0

$$\int\limits_{0}^{1} e^{- 2 x} \sin{\left(2 x \right)}\, dx$$

Integral(E^(-2*x)*sin(2*x), (x, 0, 1))

Solución detallada

Hay varias maneras de calcular esta integral.
Método #1
1. que $u = - 2 x$ .
  
  Luego que $du = - 2 dx$ y ponemos $\frac{du}{2}$ :
  
  $\int \frac{e^{u} \sin{\left(u \right)}}{2}\, du$
  1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
    
    $\int e^{u} \sin{\left(u \right)}\, du = \frac{\int e^{u} \sin{\left(u \right)}\, du}{2}$
    1. Usamos la integración por partes, notamos que al fin de cuentas el integrando se repite.
      
      Para el integrando $e^{u} \sin{\left(u \right)}$ :
      
      que $u{\left(u \right)} = \sin{\left(u \right)}$ y que $\operatorname{dv}{\left(u \right)} = e^{u}$ .
      
      Entonces $\int e^{u} \sin{\left(u \right)}\, du = e^{u} \sin{\left(u \right)} - \int e^{u} \cos{\left(u \right)}\, du$ .
      
      Para el integrando $e^{u} \cos{\left(u \right)}$ :
      
      que $u{\left(u \right)} = \cos{\left(u \right)}$ y que $\operatorname{dv}{\left(u \right)} = e^{u}$ .
      
      Entonces $\int e^{u} \sin{\left(u \right)}\, du = e^{u} \sin{\left(u \right)} - e^{u} \cos{\left(u \right)} + \int \left(- e^{u} \sin{\left(u \right)}\right)\, du$ .
      
      Tenga en cuenta que el integrando se repite, por eso lo movemos hacia el lado:
      
      $2 \int e^{u} \sin{\left(u \right)}\, du = e^{u} \sin{\left(u \right)} - e^{u} \cos{\left(u \right)}$
      
      Por lo tanto,
      
      $\int e^{u} \sin{\left(u \right)}\, du = \frac{e^{u} \sin{\left(u \right)}}{2} - \frac{e^{u} \cos{\left(u \right)}}{2}$
    Por lo tanto, el resultado es: $\frac{e^{u} \sin{\left(u \right)}}{4} - \frac{e^{u} \cos{\left(u \right)}}{4}$
  Si ahora sustituir $u$ más en:
  
  $- \frac{e^{- 2 x} \sin{\left(2 x \right)}}{4} - \frac{e^{- 2 x} \cos{\left(2 x \right)}}{4}$
Método #2
1. que $u = 2 x$ .
  
  Luego que $du = 2 dx$ y ponemos $\frac{du}{2}$ :
  
  $\int \frac{e^{- u} \sin{\left(u \right)}}{2}\, du$
  1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
    
    $\int e^{- u} \sin{\left(u \right)}\, du = \frac{\int e^{- u} \sin{\left(u \right)}\, du}{2}$
    1. que $u = - u$ .
      
      Luego que $du = - du$ y ponemos $du$ :
      
      $\int e^{u} \sin{\left(u \right)}\, du$
      
      Usamos la integración por partes, notamos que al fin de cuentas el integrando se repite.
      
      Para el integrando $e^{u} \sin{\left(u \right)}$ :
      
      que $u{\left(u \right)} = \sin{\left(u \right)}$ y que $\operatorname{dv}{\left(u \right)} = e^{u}$ .
      
      Entonces $\int e^{u} \sin{\left(u \right)}\, du = e^{u} \sin{\left(u \right)} - \int e^{u} \cos{\left(u \right)}\, du$ .
      
      Para el integrando $e^{u} \cos{\left(u \right)}$ :
      
      que $u{\left(u \right)} = \cos{\left(u \right)}$ y que $\operatorname{dv}{\left(u \right)} = e^{u}$ .
      
      Entonces $\int e^{u} \sin{\left(u \right)}\, du = e^{u} \sin{\left(u \right)} - e^{u} \cos{\left(u \right)} + \int \left(- e^{u} \sin{\left(u \right)}\right)\, du$ .
      
      Tenga en cuenta que el integrando se repite, por eso lo movemos hacia el lado:
      
      $2 \int e^{u} \sin{\left(u \right)}\, du = e^{u} \sin{\left(u \right)} - e^{u} \cos{\left(u \right)}$
      
      Por lo tanto,
      
      $\int e^{u} \sin{\left(u \right)}\, du = \frac{e^{u} \sin{\left(u \right)}}{2} - \frac{e^{u} \cos{\left(u \right)}}{2}$
      
      Si ahora sustituir $u$ más en:
      
      $- \frac{e^{- u} \sin{\left(u \right)}}{2} - \frac{e^{- u} \cos{\left(u \right)}}{2}$
    Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{e^{- u} \sin{\left(u \right)}}{4} - \frac{e^{- u} \cos{\left(u \right)}}{4}$
  Si ahora sustituir $u$ más en:
  
  $- \frac{e^{- 2 x} \sin{\left(2 x \right)}}{4} - \frac{e^{- 2 x} \cos{\left(2 x \right)}}{4}$
Ahora simplificar:

$- \frac{\sqrt{2} e^{- 2 x} \sin{\left(2 x + \frac{\pi}{4} \right)}}{4}$
Añadimos la constante de integración:

$- \frac{\sqrt{2} e^{- 2 x} \sin{\left(2 x + \frac{\pi}{4} \right)}}{4}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$- \frac{\sqrt{2} e^{- 2 x} \sin{\left(2 x + \frac{\pi}{4} \right)}}{4}+ \mathrm{constant}$

Respuesta (Indefinida) [src]

  /                                                       
 |                                   -2*x    -2*x         
 |  -2*x                   cos(2*x)*e       e    *sin(2*x)
 | E    *sin(2*x) dx = C - -------------- - --------------
 |                               4                4       
/

$$\int e^{- 2 x} \sin{\left(2 x \right)}\, dx = C - \frac{e^{- 2 x} \sin{\left(2 x \right)}}{4} - \frac{e^{- 2 x} \cos{\left(2 x \right)}}{4}$$

Simplificar

Gráfica

Trazar el gráfico f(x)

Respuesta [src]

            -2    -2       
1   cos(2)*e     e  *sin(2)
- - ---------- - ----------
4       4            4

$$- \frac{\sin{\left(2 \right)}}{4 e^{2}} - \frac{\cos{\left(2 \right)}}{4 e^{2}} + \frac{1}{4}$$

            -2    -2       
1   cos(2)*e     e  *sin(2)
- - ---------- - ----------
4       4            4

$$- \frac{\sin{\left(2 \right)}}{4 e^{2}} - \frac{\cos{\left(2 \right)}}{4 e^{2}} + \frac{1}{4}$$

1/4 - cos(2)*exp(-2)/4 - exp(-2)*sin(2)/4

Respuesta numérica [src]

0.233314831296588

0.233314831296588

Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.

Otras calculadoras

¿Cómo usar?

Expresiones idénticas

Expresiones semejantes

Expresiones con funciones

Integral de e^(-2x)×sin(2x) dx

Límites de integración:

Gráfico:

Definida a trozos:

Solución

Método #1

Método #2