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Resolución de integrales/ 1/(2x)/ sqrt(1+(x/2-1/(2x))^2)

Integral de sqrt(1+(x/2-1/(2x))^2) dx

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
  2                         
  /                         
 |                          
 |       ________________   
 |      /              2    
 |     /      /x    1 \     
 |    /   1 + |- - ---|   dx
 |  \/        \2   2*x/     
 |                          
/                           
1
∫12(x2−12x)2+1 dx\int\limits_{1}^{2} \sqrt{\left(\frac{x}{2} - \frac{1}{2 x}\right)^{2} + 1}\, dx 
Integral(sqrt(1 + (x/2 - 1/(2*x))^2), (x, 1, 2))
Solución detallada

  1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

    Método #1

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      (x2−12x)2+1=x24+12+14x2\sqrt{\left(\frac{x}{2} - \frac{1}{2 x}\right)^{2} + 1} = \sqrt{\frac{x^{2}}{4} + \frac{1}{2} + \frac{1}{4 x^{2}}}

    2. Vuelva a escribir el integrando:

      x24+12+14x2=x2+2+1x22\sqrt{\frac{x^{2}}{4} + \frac{1}{2} + \frac{1}{4 x^{2}}} = \frac{\sqrt{x^{2} + 2 + \frac{1}{x^{2}}}}{2}

    3. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      ∫x2+2+1x22 dx=∫x2+2+1x2 dx2\int \frac{\sqrt{x^{2} + 2 + \frac{1}{x^{2}}}}{2}\, dx = \frac{\int \sqrt{x^{2} + 2 + \frac{1}{x^{2}}}\, dx}{2}

      1. No puedo encontrar los pasos en la búsqueda de esta integral.

        Pero la integral

        ∫x2+2+1x2 dx\int \sqrt{x^{2} + 2 + \frac{1}{x^{2}}}\, dx

      Por lo tanto, el resultado es: ∫x2+2+1x2 dx2\frac{\int \sqrt{x^{2} + 2 + \frac{1}{x^{2}}}\, dx}{2}

    Método #2

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      (x2−12x)2+1=−12xx+x24+1+14x2\sqrt{\left(\frac{x}{2} - \frac{1}{2 x}\right)^{2} + 1} = \sqrt{- \frac{1}{2 x} x + \frac{x^{2}}{4} + 1 + \frac{1}{4 x^{2}}}

    2. Vuelva a escribir el integrando:

      −12xx+x24+1+14x2=x2+2+1x22\sqrt{- \frac{1}{2 x} x + \frac{x^{2}}{4} + 1 + \frac{1}{4 x^{2}}} = \frac{\sqrt{x^{2} + 2 + \frac{1}{x^{2}}}}{2}

    3. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      ∫x2+2+1x22 dx=∫x2+2+1x2 dx2\int \frac{\sqrt{x^{2} + 2 + \frac{1}{x^{2}}}}{2}\, dx = \frac{\int \sqrt{x^{2} + 2 + \frac{1}{x^{2}}}\, dx}{2}

      1. No puedo encontrar los pasos en la búsqueda de esta integral.

        Pero la integral

        ∫x2+2+1x2 dx\int \sqrt{x^{2} + 2 + \frac{1}{x^{2}}}\, dx

      Por lo tanto, el resultado es: ∫x2+2+1x2 dx2\frac{\int \sqrt{x^{2} + 2 + \frac{1}{x^{2}}}\, dx}{2}

  2. Añadimos la constante de integración:

    ∫x2+2+1x2 dx2+constant\frac{\int \sqrt{x^{2} + 2 + \frac{1}{x^{2}}}\, dx}{2}+ \mathrm{constant}

Respuesta:

∫x2+2+1x2 dx2+constant\frac{\int \sqrt{x^{2} + 2 + \frac{1}{x^{2}}}\, dx}{2}+ \mathrm{constant}

Respuesta (Indefinida) [src] 
                                    /                     
                                   |                      
                                   |      _____________   
                                   |     /     1     2    
  /                                |    /  2 + -- + x   dx
 |                                 |   /        2         
 |      ________________           | \/        x          
 |     /              2            |                      
 |    /      /x    1 \            /                       
 |   /   1 + |- - ---|   dx = C + ------------------------
 | \/        \2   2*x/                       2            
 |                                                        
/
∫(x2−12x)2+1 dx=C+∫x2+2+1x2 dx2\int \sqrt{\left(\frac{x}{2} - \frac{1}{2 x}\right)^{2} + 1}\, dx = C + \frac{\int \sqrt{x^{2} + 2 + \frac{1}{x^{2}}}\, dx}{2}
Simplificar
Respuesta [src] 
3   log(2)
- + ------
4     2
log⁡(2)2+34\frac{\log{\left(2 \right)}}{2} + \frac{3}{4} 
=
= 
3   log(2)
- + ------
4     2
log⁡(2)2+34\frac{\log{\left(2 \right)}}{2} + \frac{3}{4} 
3/4 + log(2)/2
Respuesta numérica [src] 
1.09657359027997
1.09657359027997

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.

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