Integral de (sin(3x))^6 dx

Solución

Ha introducido [src]

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 |     6        
 |  sin (3*x) dx
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0

$$\int\limits_{0}^{1} \sin^{6}{\left(3 x \right)}\, dx$$

Integral(sin(3*x)^6, (x, 0, 1))

Solución detallada

Vuelva a escribir el integrando:

$\sin^{6}{\left(3 x \right)} = \left(\frac{1}{2} - \frac{\cos{\left(6 x \right)}}{2}\right)^{3}$
Hay varias maneras de calcular esta integral.
Método #1
1. Vuelva a escribir el integrando:
  
  $\left(\frac{1}{2} - \frac{\cos{\left(6 x \right)}}{2}\right)^{3} = - \frac{\cos^{3}{\left(6 x \right)}}{8} + \frac{3 \cos^{2}{\left(6 x \right)}}{8} - \frac{3 \cos{\left(6 x \right)}}{8} + \frac{1}{8}$
2. Integramos término a término:
  1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
    
    $\int \left(- \frac{\cos^{3}{\left(6 x \right)}}{8}\right)\, dx = - \frac{\int \cos^{3}{\left(6 x \right)}\, dx}{8}$
    1. Vuelva a escribir el integrando:
      
      $\cos^{3}{\left(6 x \right)} = \left(1 - \sin^{2}{\left(6 x \right)}\right) \cos{\left(6 x \right)}$
    2. Hay varias maneras de calcular esta integral.
      
      Método #1
      
      que $u = \sin{\left(6 x \right)}$ .
      
      Luego que $du = 6 \cos{\left(6 x \right)} dx$ y ponemos $du$ :
      
      $\int \left(\frac{1}{6} - \frac{u^{2}}{6}\right)\, du$
      
      Integramos término a término:
      
      La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:
      
      $\int \frac{1}{6}\, du = \frac{u}{6}$
      
      La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
      
      $\int \left(- \frac{u^{2}}{6}\right)\, du = - \frac{\int u^{2}\, du}{6}$
      
      Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$ :
      
      $\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}$
      
      Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{u^{3}}{18}$
      
      El resultado es: $- \frac{u^{3}}{18} + \frac{u}{6}$
      
      Si ahora sustituir $u$ más en:
      
      $- \frac{\sin^{3}{\left(6 x \right)}}{18} + \frac{\sin{\left(6 x \right)}}{6}$
      
      Método #2
      
      Vuelva a escribir el integrando:
      
      $\left(1 - \sin^{2}{\left(6 x \right)}\right) \cos{\left(6 x \right)} = - \sin^{2}{\left(6 x \right)} \cos{\left(6 x \right)} + \cos{\left(6 x \right)}$
      
      Integramos término a término:
      
      La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
      
      $\int \left(- \sin^{2}{\left(6 x \right)} \cos{\left(6 x \right)}\right)\, dx = - \int \sin^{2}{\left(6 x \right)} \cos{\left(6 x \right)}\, dx$
      
      que $u = \sin{\left(6 x \right)}$ .
      
      Luego que $du = 6 \cos{\left(6 x \right)} dx$ y ponemos $\frac{du}{6}$ :
      
      $\int \frac{u^{2}}{6}\, du$
      
      La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
      
      $\int u^{2}\, du = \frac{\int u^{2}\, du}{6}$
      
      Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$ :
      
      $\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}$
      
      Por lo tanto, el resultado es: $\frac{u^{3}}{18}$
      
      Si ahora sustituir $u$ más en:
      
      $\frac{\sin^{3}{\left(6 x \right)}}{18}$
      
      Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{\sin^{3}{\left(6 x \right)}}{18}$
      
      que $u = 6 x$ .
      
      Luego que $du = 6 dx$ y ponemos $\frac{du}{6}$ :
      
      $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{6}\, du$
      
      La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
      
      $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{6}$
      
      La integral del coseno es seno:
      
      $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}$
      
      Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\sin{\left(u \right)}}{6}$
      
      Si ahora sustituir $u$ más en:
      
      $\frac{\sin{\left(6 x \right)}}{6}$
      
      El resultado es: $- \frac{\sin^{3}{\left(6 x \right)}}{18} + \frac{\sin{\left(6 x \right)}}{6}$
      
      Método #3
      
      Vuelva a escribir el integrando:
      
      $\left(1 - \sin^{2}{\left(6 x \right)}\right) \cos{\left(6 x \right)} = - \sin^{2}{\left(6 x \right)} \cos{\left(6 x \right)} + \cos{\left(6 x \right)}$
      
      Integramos término a término:
      
      La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
      
      $\int \left(- \sin^{2}{\left(6 x \right)} \cos{\left(6 x \right)}\right)\, dx = - \int \sin^{2}{\left(6 x \right)} \cos{\left(6 x \right)}\, dx$
      
      que $u = \sin{\left(6 x \right)}$ .
      
      Luego que $du = 6 \cos{\left(6 x \right)} dx$ y ponemos $\frac{du}{6}$ :
      
      $\int \frac{u^{2}}{6}\, du$
      
      La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
      
      $\int u^{2}\, du = \frac{\int u^{2}\, du}{6}$
      
      Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$ :
      
      $\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}$
      
      Por lo tanto, el resultado es: $\frac{u^{3}}{18}$
      
      Si ahora sustituir $u$ más en:
      
      $\frac{\sin^{3}{\left(6 x \right)}}{18}$
      
      Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{\sin^{3}{\left(6 x \right)}}{18}$
      
      que $u = 6 x$ .
      
      Luego que $du = 6 dx$ y ponemos $\frac{du}{6}$ :
      
      $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{6}\, du$
      
      La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
      
      $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{6}$
      
      La integral del coseno es seno:
      
      $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}$
      
      Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\sin{\left(u \right)}}{6}$
      
      Si ahora sustituir $u$ más en:
      
      $\frac{\sin{\left(6 x \right)}}{6}$
      
      El resultado es: $- \frac{\sin^{3}{\left(6 x \right)}}{18} + \frac{\sin{\left(6 x \right)}}{6}$
    Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\sin^{3}{\left(6 x \right)}}{144} - \frac{\sin{\left(6 x \right)}}{48}$
  1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
    
    $\int \frac{3 \cos^{2}{\left(6 x \right)}}{8}\, dx = \frac{3 \int \cos^{2}{\left(6 x \right)}\, dx}{8}$
    1. Vuelva a escribir el integrando:
      
      $\cos^{2}{\left(6 x \right)} = \frac{\cos{\left(12 x \right)}}{2} + \frac{1}{2}$
    2. Integramos término a término:
      
      La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
      
      $\int \frac{\cos{\left(12 x \right)}}{2}\, dx = \frac{\int \cos{\left(12 x \right)}\, dx}{2}$
      
      que $u = 12 x$ .
      
      Luego que $du = 12 dx$ y ponemos $\frac{du}{12}$ :
      
      $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{12}\, du$
      
      La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
      
      $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{12}$
      
      La integral del coseno es seno:
      
      $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}$
      
      Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\sin{\left(u \right)}}{12}$
      
      Si ahora sustituir $u$ más en:
      
      $\frac{\sin{\left(12 x \right)}}{12}$
      
      Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\sin{\left(12 x \right)}}{24}$
      
      La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:
      
      $\int \frac{1}{2}\, dx = \frac{x}{2}$
      
      El resultado es: $\frac{x}{2} + \frac{\sin{\left(12 x \right)}}{24}$
    Por lo tanto, el resultado es: $\frac{3 x}{16} + \frac{\sin{\left(12 x \right)}}{64}$
  1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
    
    $\int \left(- \frac{3 \cos{\left(6 x \right)}}{8}\right)\, dx = - \frac{3 \int \cos{\left(6 x \right)}\, dx}{8}$
    1. que $u = 6 x$ .
      
      Luego que $du = 6 dx$ y ponemos $\frac{du}{6}$ :
      
      $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{6}\, du$
      
      La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
      
      $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{6}$
      
      La integral del coseno es seno:
      
      $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}$
      
      Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\sin{\left(u \right)}}{6}$
      
      Si ahora sustituir $u$ más en:
      
      $\frac{\sin{\left(6 x \right)}}{6}$
    Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{\sin{\left(6 x \right)}}{16}$
  1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:
    
    $\int \frac{1}{8}\, dx = \frac{x}{8}$
  El resultado es: $\frac{5 x}{16} + \frac{\sin^{3}{\left(6 x \right)}}{144} - \frac{\sin{\left(6 x \right)}}{12} + \frac{\sin{\left(12 x \right)}}{64}$
Método #2
1. Vuelva a escribir el integrando:
  
  $\left(\frac{1}{2} - \frac{\cos{\left(6 x \right)}}{2}\right)^{3} = - \frac{\cos^{3}{\left(6 x \right)}}{8} + \frac{3 \cos^{2}{\left(6 x \right)}}{8} - \frac{3 \cos{\left(6 x \right)}}{8} + \frac{1}{8}$
2. Integramos término a término:
  1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
    
    $\int \left(- \frac{\cos^{3}{\left(6 x \right)}}{8}\right)\, dx = - \frac{\int \cos^{3}{\left(6 x \right)}\, dx}{8}$
    1. Vuelva a escribir el integrando:
      
      $\cos^{3}{\left(6 x \right)} = \left(1 - \sin^{2}{\left(6 x \right)}\right) \cos{\left(6 x \right)}$
    2. que $u = \sin{\left(6 x \right)}$ .
      
      Luego que $du = 6 \cos{\left(6 x \right)} dx$ y ponemos $du$ :
      
      $\int \left(\frac{1}{6} - \frac{u^{2}}{6}\right)\, du$
      
      Integramos término a término:
      
      La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:
      
      $\int \frac{1}{6}\, du = \frac{u}{6}$
      
      La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
      
      $\int \left(- \frac{u^{2}}{6}\right)\, du = - \frac{\int u^{2}\, du}{6}$
      
      Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$ :
      
      $\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}$
      
      Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{u^{3}}{18}$
      
      El resultado es: $- \frac{u^{3}}{18} + \frac{u}{6}$
      
      Si ahora sustituir $u$ más en:
      
      $- \frac{\sin^{3}{\left(6 x \right)}}{18} + \frac{\sin{\left(6 x \right)}}{6}$
    Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\sin^{3}{\left(6 x \right)}}{144} - \frac{\sin{\left(6 x \right)}}{48}$
  1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
    
    $\int \frac{3 \cos^{2}{\left(6 x \right)}}{8}\, dx = \frac{3 \int \cos^{2}{\left(6 x \right)}\, dx}{8}$
    1. Vuelva a escribir el integrando:
      
      $\cos^{2}{\left(6 x \right)} = \frac{\cos{\left(12 x \right)}}{2} + \frac{1}{2}$
    2. Integramos término a término:
      
      La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
      
      $\int \frac{\cos{\left(12 x \right)}}{2}\, dx = \frac{\int \cos{\left(12 x \right)}\, dx}{2}$
      
      que $u = 12 x$ .
      
      Luego que $du = 12 dx$ y ponemos $\frac{du}{12}$ :
      
      $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{12}\, du$
      
      La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
      
      $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{12}$
      
      La integral del coseno es seno:
      
      $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}$
      
      Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\sin{\left(u \right)}}{12}$
      
      Si ahora sustituir $u$ más en:
      
      $\frac{\sin{\left(12 x \right)}}{12}$
      
      Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\sin{\left(12 x \right)}}{24}$
      
      La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:
      
      $\int \frac{1}{2}\, dx = \frac{x}{2}$
      
      El resultado es: $\frac{x}{2} + \frac{\sin{\left(12 x \right)}}{24}$
    Por lo tanto, el resultado es: $\frac{3 x}{16} + \frac{\sin{\left(12 x \right)}}{64}$
  1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
    
    $\int \left(- \frac{3 \cos{\left(6 x \right)}}{8}\right)\, dx = - \frac{3 \int \cos{\left(6 x \right)}\, dx}{8}$
    1. que $u = 6 x$ .
      
      Luego que $du = 6 dx$ y ponemos $\frac{du}{6}$ :
      
      $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{6}\, du$
      
      La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
      
      $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{6}$
      
      La integral del coseno es seno:
      
      $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}$
      
      Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\sin{\left(u \right)}}{6}$
      
      Si ahora sustituir $u$ más en:
      
      $\frac{\sin{\left(6 x \right)}}{6}$
    Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{\sin{\left(6 x \right)}}{16}$
  1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:
    
    $\int \frac{1}{8}\, dx = \frac{x}{8}$
  El resultado es: $\frac{5 x}{16} + \frac{\sin^{3}{\left(6 x \right)}}{144} - \frac{\sin{\left(6 x \right)}}{12} + \frac{\sin{\left(12 x \right)}}{64}$
Ahora simplificar:

$\frac{5 x}{16} - \frac{5 \sin{\left(6 x \right)}}{64} + \frac{\sin{\left(12 x \right)}}{64} - \frac{\sin{\left(18 x \right)}}{576}$
Añadimos la constante de integración:

$\frac{5 x}{16} - \frac{5 \sin{\left(6 x \right)}}{64} + \frac{\sin{\left(12 x \right)}}{64} - \frac{\sin{\left(18 x \right)}}{576}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{5 x}{16} - \frac{5 \sin{\left(6 x \right)}}{64} + \frac{\sin{\left(12 x \right)}}{64} - \frac{\sin{\left(18 x \right)}}{576}+ \mathrm{constant}$

Respuesta (Indefinida) [src]

  /                                                         
 |                                              3           
 |    6               sin(6*x)   sin(12*x)   sin (6*x)   5*x
 | sin (3*x) dx = C - -------- + --------- + --------- + ---
 |                       12          64         144       16
/

$$\int \sin^{6}{\left(3 x \right)}\, dx = C + \frac{5 x}{16} + \frac{\sin^{3}{\left(6 x \right)}}{144} - \frac{\sin{\left(6 x \right)}}{12} + \frac{\sin{\left(12 x \right)}}{64}$$

Simplificar

Gráfica

Trazar el gráfico f(x)

Respuesta [src]

                            3                5          
5    5*cos(3)*sin(3)   5*sin (3)*cos(3)   sin (3)*cos(3)
-- - --------------- - ---------------- - --------------
16          48                72                18

$$- \frac{\sin^{5}{\left(3 \right)} \cos{\left(3 \right)}}{18} - \frac{5 \sin^{3}{\left(3 \right)} \cos{\left(3 \right)}}{72} - \frac{5 \sin{\left(3 \right)} \cos{\left(3 \right)}}{48} + \frac{5}{16}$$

                            3                5          
5    5*cos(3)*sin(3)   5*sin (3)*cos(3)   sin (3)*cos(3)
-- - --------------- - ---------------- - --------------
16          48                72                18

5/16 - 5*cos(3)*sin(3)/48 - 5*sin(3)^3*cos(3)/72 - sin(3)^5*cos(3)/18

Respuesta numérica [src]

0.327249181256457

0.327249181256457

Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.

Otras calculadoras

¿Cómo usar?

Expresiones idénticas

Expresiones con funciones

Integral de (sin(3x))^6 dx

Límites de integración:

Gráfico:

Definida a trozos:

Solución

Método #1

Método #1

Método #2

Método #3

Método #2