Integral de (7x-2)/(sqrt(x^(2)+5x+1)) dx

1. Vuelva a escribir el integrando:

   $\frac{7 x - 2}{\sqrt{\left(x^{2} + 5 x\right) + 1}} = \frac{7 x}{\sqrt{\left(x^{2} + 5 x\right) + 1}} - \frac{2}{\sqrt{\left(x^{2} + 5 x\right) + 1}}$

2. Integramos término a término:

   1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int \frac{7 x}{\sqrt{\left(x^{2} + 5 x\right) + 1}}\, dx = 7 \int \frac{x}{\sqrt{\left(x^{2} + 5 x\right) + 1}}\, dx$

      1. No puedo encontrar los pasos en la búsqueda de esta integral.

         Pero la integral

         $\int \frac{x}{\sqrt{x^{2} + 5 x + 1}}\, dx$

      Por lo tanto, el resultado es: $7 \int \frac{x}{\sqrt{x^{2} + 5 x + 1}}\, dx$

   1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int \left(- \frac{2}{\sqrt{\left(x^{2} + 5 x\right) + 1}}\right)\, dx = - 2 \int \frac{1}{\sqrt{\left(x^{2} + 5 x\right) + 1}}\, dx$

      1. No puedo encontrar los pasos en la búsqueda de esta integral.

         Pero la integral

         $\int \frac{1}{\sqrt{\left(x^{2} + 5 x\right) + 1}}\, dx$

      Por lo tanto, el resultado es: $- 2 \int \frac{1}{\sqrt{\left(x^{2} + 5 x\right) + 1}}\, dx$

   El resultado es: $7 \int \frac{x}{\sqrt{x^{2} + 5 x + 1}}\, dx - 2 \int \frac{1}{\sqrt{\left(x^{2} + 5 x\right) + 1}}\, dx$

3. Ahora simplificar:

   $7 \int \frac{x}{\sqrt{x^{2} + 5 x + 1}}\, dx - 2 \int \frac{1}{\sqrt{x^{2} + 5 x + 1}}\, dx$

4. Añadimos la constante de integración:

   $7 \int \frac{x}{\sqrt{x^{2} + 5 x + 1}}\, dx - 2 \int \frac{1}{\sqrt{x^{2} + 5 x + 1}}\, dx+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$7 \int \frac{x}{\sqrt{x^{2} + 5 x + 1}}\, dx - 2 \int \frac{1}{\sqrt{x^{2} + 5 x + 1}}\, dx+ \mathrm{constant}$