Integral de sin(2*x)/(cos(2*x))^(2/3) dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. que $u = 2 x$.

      Luego que $du = 2 dx$ y ponemos $\frac{du}{2}$:

      $\int \frac{\sin{\left(u \right)}}{2 \cos^{\frac{2}{3}}{\left(u \right)}}\, du$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{\sin{\left(u \right)}}{\cos^{\frac{2}{3}}{\left(u \right)}}\, du = \frac{\int \frac{\sin{\left(u \right)}}{\cos^{\frac{2}{3}}{\left(u \right)}}\, du}{2}$

         1. que $u = \cos{\left(u \right)}$.

            Luego que $du = - \sin{\left(u \right)} du$ y ponemos $- du$:

            $\int \left(- \frac{1}{u^{\frac{2}{3}}}\right)\, du$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \frac{1}{u^{\frac{2}{3}}}\, du = - \int \frac{1}{u^{\frac{2}{3}}}\, du$

               1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                  $\int \frac{1}{u^{\frac{2}{3}}}\, du = 3 \sqrt[3]{u}$

               Por lo tanto, el resultado es: $- 3 \sqrt[3]{u}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $- 3 \sqrt[3]{\cos{\left(u \right)}}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{3 \sqrt[3]{\cos{\left(u \right)}}}{2}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $- \frac{3 \sqrt[3]{\cos{\left(2 x \right)}}}{2}$

   Método #2

   1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int \frac{2 \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}}{\cos^{\frac{2}{3}}{\left(2 x \right)}}\, dx = 2 \int \frac{\sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}}{\cos^{\frac{2}{3}}{\left(2 x \right)}}\, dx$

      1. Vuelva a escribir el integrando:

         $\frac{\sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}}{\cos^{\frac{2}{3}}{\left(2 x \right)}} = \frac{\sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}}{\left(2 \cos^{2}{\left(x \right)} - 1\right)^{\frac{2}{3}}}$

      2. que $u = 2 \cos^{2}{\left(x \right)} - 1$.

         Luego que $du = - 4 \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} dx$ y ponemos $- \frac{du}{4}$:

         $\int \left(- \frac{1}{4 u^{\frac{2}{3}}}\right)\, du$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \frac{1}{u^{\frac{2}{3}}}\, du = - \frac{\int \frac{1}{u^{\frac{2}{3}}}\, du}{4}$

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int \frac{1}{u^{\frac{2}{3}}}\, du = 3 \sqrt[3]{u}$

            Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{3 \sqrt[3]{u}}{4}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $- \frac{3 \sqrt[3]{2 \cos^{2}{\left(x \right)} - 1}}{4}$

      Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{3 \sqrt[3]{2 \cos^{2}{\left(x \right)} - 1}}{2}$

2. Añadimos la constante de integración:

   $- \frac{3 \sqrt[3]{\cos{\left(2 x \right)}}}{2}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$- \frac{3 \sqrt[3]{\cos{\left(2 x \right)}}}{2}+ \mathrm{constant}$