Integral de (17/8*cos^2(x)-1/4*cos^4(x)*sin^2(x)) dx

1. Integramos término a término:

   1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int \left(- \sin^{2}{\left(x \right)} \frac{\cos^{4}{\left(x \right)}}{4}\right)\, dx = - \int \frac{\sin^{2}{\left(x \right)} \cos^{4}{\left(x \right)}}{4}\, dx$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{\sin^{2}{\left(x \right)} \cos^{4}{\left(x \right)}}{4}\, dx = \frac{\int \sin^{2}{\left(x \right)} \cos^{4}{\left(x \right)}\, dx}{4}$

         1. Vuelva a escribir el integrando:

            $\sin^{2}{\left(x \right)} \cos^{4}{\left(x \right)} = \left(\frac{1}{2} - \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2}\right) \left(\frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2} + \frac{1}{2}\right)^{2}$

         2. Hay varias maneras de calcular esta integral.

            Método #1

            1. que $u = 2 x$.

               Luego que $du = 2 dx$ y ponemos $du$:

               $\int \left(- \frac{\cos^{3}{\left(u \right)}}{16} - \frac{\cos^{2}{\left(u \right)}}{16} + \frac{\cos{\left(u \right)}}{16} + \frac{1}{16}\right)\, du$

               1. Integramos término a término:

                  1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                     $\int \left(- \frac{\cos^{3}{\left(u \right)}}{16}\right)\, du = - \frac{\int \cos^{3}{\left(u \right)}\, du}{16}$

                     1. Vuelva a escribir el integrando:

                        $\cos^{3}{\left(u \right)} = \left(1 - \sin^{2}{\left(u \right)}\right) \cos{\left(u \right)}$

                     2. que $u = \sin{\left(u \right)}$.

                        Luego que $du = \cos{\left(u \right)} du$ y ponemos $du$:

                        $\int \left(1 - u^{2}\right)\, du$

                        1. Integramos término a término:

                           1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

                              $\int 1\, du = u$

                           1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                              $\int \left(- u^{2}\right)\, du = - \int u^{2}\, du$

                              1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                                 $\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}$

                              Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{u^{3}}{3}$

                           El resultado es: $- \frac{u^{3}}{3} + u$

                        Si ahora sustituir $u$ más en:

                        $- \frac{\sin^{3}{\left(u \right)}}{3} + \sin{\left(u \right)}$

                     Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\sin^{3}{\left(u \right)}}{48} - \frac{\sin{\left(u \right)}}{16}$

                  1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                     $\int \left(- \frac{\cos^{2}{\left(u \right)}}{16}\right)\, du = - \frac{\int \cos^{2}{\left(u \right)}\, du}{16}$

                     1. Vuelva a escribir el integrando:

                        $\cos^{2}{\left(u \right)} = \frac{\cos{\left(2 u \right)}}{2} + \frac{1}{2}$

                     2. Integramos término a término:

                        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                           $\int \frac{\cos{\left(2 u \right)}}{2}\, du = \frac{\int \cos{\left(2 u \right)}\, du}{2}$

                           1. que $u = 2 u$.

                              Luego que $du = 2 du$ y ponemos $\frac{du}{2}$:

                              $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{2}\, du$

                              1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                                 $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{2}$

                                 1. La integral del coseno es seno:

                                    $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}$

                                 Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\sin{\left(u \right)}}{2}$

                              Si ahora sustituir $u$ más en:

                              $\frac{\sin{\left(2 u \right)}}{2}$

                           Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\sin{\left(2 u \right)}}{4}$

                        1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

                           $\int \frac{1}{2}\, du = \frac{u}{2}$

                        El resultado es: $\frac{u}{2} + \frac{\sin{\left(2 u \right)}}{4}$

                     Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{u}{32} - \frac{\sin{\left(2 u \right)}}{64}$

                  1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                     $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{16}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{16}$

                     1. La integral del coseno es seno:

                        $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}$

                     Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\sin{\left(u \right)}}{16}$

                  1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

                     $\int \frac{1}{16}\, du = \frac{u}{16}$

                  El resultado es: $\frac{u}{32} - \frac{\sin{\left(2 u \right)}}{64} + \frac{\sin^{3}{\left(u \right)}}{48}$

               Si ahora sustituir $u$ más en:

               $\frac{x}{16} + \frac{\sin^{3}{\left(2 x \right)}}{48} - \frac{\sin{\left(4 x \right)}}{64}$

            Método #2

            1. Vuelva a escribir el integrando:

               $\left(\frac{1}{2} - \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2}\right) \left(\frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2} + \frac{1}{2}\right)^{2} = - \frac{\cos^{3}{\left(2 x \right)}}{8} - \frac{\cos^{2}{\left(2 x \right)}}{8} + \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{8} + \frac{1}{8}$

            2. Integramos término a término:

               1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  $\int \left(- \frac{\cos^{3}{\left(2 x \right)}}{8}\right)\, dx = - \frac{\int \cos^{3}{\left(2 x \right)}\, dx}{8}$

                  1. Vuelva a escribir el integrando:

                     $\cos^{3}{\left(2 x \right)} = \left(1 - \sin^{2}{\left(2 x \right)}\right) \cos{\left(2 x \right)}$

                  2. que $u = \sin{\left(2 x \right)}$.

                     Luego que $du = 2 \cos{\left(2 x \right)} dx$ y ponemos $du$:

                     $\int \left(\frac{1}{2} - \frac{u^{2}}{2}\right)\, du$

                     1. Integramos término a término:

                        1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

                           $\int \frac{1}{2}\, du = \frac{u}{2}$

                        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                           $\int \left(- \frac{u^{2}}{2}\right)\, du = - \frac{\int u^{2}\, du}{2}$

                           1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                              $\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}$

                           Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{u^{3}}{6}$

                        El resultado es: $- \frac{u^{3}}{6} + \frac{u}{2}$

                     Si ahora sustituir $u$ más en:

                     $- \frac{\sin^{3}{\left(2 x \right)}}{6} + \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{2}$

                  Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\sin^{3}{\left(2 x \right)}}{48} - \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{16}$

               1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  $\int \left(- \frac{\cos^{2}{\left(2 x \right)}}{8}\right)\, dx = - \frac{\int \cos^{2}{\left(2 x \right)}\, dx}{8}$

                  1. Vuelva a escribir el integrando:

                     $\cos^{2}{\left(2 x \right)} = \frac{\cos{\left(4 x \right)}}{2} + \frac{1}{2}$

                  2. Integramos término a término:

                     1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                        $\int \frac{\cos{\left(4 x \right)}}{2}\, dx = \frac{\int \cos{\left(4 x \right)}\, dx}{2}$

                        1. que $u = 4 x$.

                           Luego que $du = 4 dx$ y ponemos $\frac{du}{4}$:

                           $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{4}\, du$

                           1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                              $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{4}$

                              1. La integral del coseno es seno:

                                 $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}$

                              Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\sin{\left(u \right)}}{4}$

                           Si ahora sustituir $u$ más en:

                           $\frac{\sin{\left(4 x \right)}}{4}$

                        Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\sin{\left(4 x \right)}}{8}$

                     1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

                        $\int \frac{1}{2}\, dx = \frac{x}{2}$

                     El resultado es: $\frac{x}{2} + \frac{\sin{\left(4 x \right)}}{8}$

                  Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{x}{16} - \frac{\sin{\left(4 x \right)}}{64}$

               1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  $\int \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{8}\, dx = \frac{\int \cos{\left(2 x \right)}\, dx}{8}$

                  1. que $u = 2 x$.

                     Luego que $du = 2 dx$ y ponemos $\frac{du}{2}$:

                     $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{2}\, du$

                     1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                        $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{2}$

                        1. La integral del coseno es seno:

                           $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}$

                        Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\sin{\left(u \right)}}{2}$

                     Si ahora sustituir $u$ más en:

                     $\frac{\sin{\left(2 x \right)}}{2}$

                  Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\sin{\left(2 x \right)}}{16}$

               1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

                  $\int \frac{1}{8}\, dx = \frac{x}{8}$

               El resultado es: $\frac{x}{16} + \frac{\sin^{3}{\left(2 x \right)}}{48} - \frac{\sin{\left(4 x \right)}}{64}$

            Método #3

            1. Vuelva a escribir el integrando:

               $\left(\frac{1}{2} - \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2}\right) \left(\frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2} + \frac{1}{2}\right)^{2} = - \frac{\cos^{3}{\left(2 x \right)}}{8} - \frac{\cos^{2}{\left(2 x \right)}}{8} + \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{8} + \frac{1}{8}$

            2. Integramos término a término:

               1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  $\int \left(- \frac{\cos^{3}{\left(2 x \right)}}{8}\right)\, dx = - \frac{\int \cos^{3}{\left(2 x \right)}\, dx}{8}$

                  1. Vuelva a escribir el integrando:

                     $\cos^{3}{\left(2 x \right)} = \left(1 - \sin^{2}{\left(2 x \right)}\right) \cos{\left(2 x \right)}$

                  2. que $u = \sin{\left(2 x \right)}$.

                     Luego que $du = 2 \cos{\left(2 x \right)} dx$ y ponemos $du$:

                     $\int \left(\frac{1}{2} - \frac{u^{2}}{2}\right)\, du$

                     1. Integramos término a término:

                        1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

                           $\int \frac{1}{2}\, du = \frac{u}{2}$

                        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                           $\int \left(- \frac{u^{2}}{2}\right)\, du = - \frac{\int u^{2}\, du}{2}$

                           1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                              $\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}$

                           Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{u^{3}}{6}$

                        El resultado es: $- \frac{u^{3}}{6} + \frac{u}{2}$

                     Si ahora sustituir $u$ más en:

                     $- \frac{\sin^{3}{\left(2 x \right)}}{6} + \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{2}$

                  Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\sin^{3}{\left(2 x \right)}}{48} - \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{16}$

               1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  $\int \left(- \frac{\cos^{2}{\left(2 x \right)}}{8}\right)\, dx = - \frac{\int \cos^{2}{\left(2 x \right)}\, dx}{8}$

                  1. Vuelva a escribir el integrando:

                     $\cos^{2}{\left(2 x \right)} = \frac{\cos{\left(4 x \right)}}{2} + \frac{1}{2}$

                  2. Integramos término a término:

                     1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                        $\int \frac{\cos{\left(4 x \right)}}{2}\, dx = \frac{\int \cos{\left(4 x \right)}\, dx}{2}$

                        1. que $u = 4 x$.

                           Luego que $du = 4 dx$ y ponemos $\frac{du}{4}$:

                           $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{4}\, du$

                           1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                              $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{4}$

                              1. La integral del coseno es seno:

                                 $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}$

                              Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\sin{\left(u \right)}}{4}$

                           Si ahora sustituir $u$ más en:

                           $\frac{\sin{\left(4 x \right)}}{4}$

                        Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\sin{\left(4 x \right)}}{8}$

                     1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

                        $\int \frac{1}{2}\, dx = \frac{x}{2}$

                     El resultado es: $\frac{x}{2} + \frac{\sin{\left(4 x \right)}}{8}$

                  Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{x}{16} - \frac{\sin{\left(4 x \right)}}{64}$

               1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  $\int \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{8}\, dx = \frac{\int \cos{\left(2 x \right)}\, dx}{8}$

                  1. que $u = 2 x$.

                     Luego que $du = 2 dx$ y ponemos $\frac{du}{2}$:

                     $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{2}\, du$

                     1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                        $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{2}$

                        1. La integral del coseno es seno:

                           $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}$

                        Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\sin{\left(u \right)}}{2}$

                     Si ahora sustituir $u$ más en:

                     $\frac{\sin{\left(2 x \right)}}{2}$

                  Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\sin{\left(2 x \right)}}{16}$

               1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

                  $\int \frac{1}{8}\, dx = \frac{x}{8}$

               El resultado es: $\frac{x}{16} + \frac{\sin^{3}{\left(2 x \right)}}{48} - \frac{\sin{\left(4 x \right)}}{64}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{x}{64} + \frac{\sin^{3}{\left(2 x \right)}}{192} - \frac{\sin{\left(4 x \right)}}{256}$

      Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{x}{64} - \frac{\sin^{3}{\left(2 x \right)}}{192} + \frac{\sin{\left(4 x \right)}}{256}$

   1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int \frac{17 \cos^{2}{\left(x \right)}}{8}\, dx = \frac{17 \int \cos^{2}{\left(x \right)}\, dx}{8}$

      1. Vuelva a escribir el integrando:

         $\cos^{2}{\left(x \right)} = \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2} + \frac{1}{2}$

      2. Integramos término a término:

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2}\, dx = \frac{\int \cos{\left(2 x \right)}\, dx}{2}$

            1. que $u = 2 x$.

               Luego que $du = 2 dx$ y ponemos $\frac{du}{2}$:

               $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{2}\, du$

               1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{2}$

                  1. La integral del coseno es seno:

                     $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}$

                  Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\sin{\left(u \right)}}{2}$

               Si ahora sustituir $u$ más en:

               $\frac{\sin{\left(2 x \right)}}{2}$

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4}$

         1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

            $\int \frac{1}{2}\, dx = \frac{x}{2}$

         El resultado es: $\frac{x}{2} + \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4}$

      Por lo tanto, el resultado es: $\frac{17 x}{16} + \frac{17 \sin{\left(2 x \right)}}{32}$

   El resultado es: $\frac{67 x}{64} - \frac{\sin^{3}{\left(2 x \right)}}{192} + \frac{17 \sin{\left(2 x \right)}}{32} + \frac{\sin{\left(4 x \right)}}{256}$

2. Ahora simplificar:

   $\frac{67 x}{64} + \frac{135 \sin{\left(2 x \right)}}{256} + \frac{\sin{\left(4 x \right)}}{256} + \frac{\sin{\left(6 x \right)}}{768}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $\frac{67 x}{64} + \frac{135 \sin{\left(2 x \right)}}{256} + \frac{\sin{\left(4 x \right)}}{256} + \frac{\sin{\left(6 x \right)}}{768}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{67 x}{64} + \frac{135 \sin{\left(2 x \right)}}{256} + \frac{\sin{\left(4 x \right)}}{256} + \frac{\sin{\left(6 x \right)}}{768}+ \mathrm{constant}$