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Resolución de integrales/ cos(x/6)/ xcos(x/6)

Integral de xcos(x/6) dx

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
 6*pi           
   /            
  |             
  |       /x\   
  |  x*cos|-| dx
  |       \6/   
  |             
 /              
 0
∫06πxcos⁡(x6) dx\int\limits_{0}^{6 \pi} x \cos{\left(\frac{x}{6} \right)}\, dx 
Integral(x*cos(x/6), (x, 0, 6*pi))
Solución detallada

  1. Usamos la integración por partes:

    ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

    que u(x)=xu{\left(x \right)} = x y que dv⁡(x)=cos⁡(x6)\operatorname{dv}{\left(x \right)} = \cos{\left(\frac{x}{6} \right)}.

    Entonces du⁡(x)=1\operatorname{du}{\left(x \right)} = 1.

    Para buscar v(x)v{\left(x \right)}:

    1. que u=x6u = \frac{x}{6}.

      Luego que du=dx6du = \frac{dx}{6} y ponemos 6du6 du:

      ∫6cos⁡(u) du\int 6 \cos{\left(u \right)}\, du

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫cos⁡(u) du=6∫cos⁡(u) du\int \cos{\left(u \right)}\, du = 6 \int \cos{\left(u \right)}\, du

        1. La integral del coseno es seno:

          ∫cos⁡(u) du=sin⁡(u)\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}

        Por lo tanto, el resultado es: 6sin⁡(u)6 \sin{\left(u \right)}

      Si ahora sustituir uu más en:

      6sin⁡(x6)6 \sin{\left(\frac{x}{6} \right)}

    Ahora resolvemos podintegral.

  2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

    ∫6sin⁡(x6) dx=6∫sin⁡(x6) dx\int 6 \sin{\left(\frac{x}{6} \right)}\, dx = 6 \int \sin{\left(\frac{x}{6} \right)}\, dx

    1. que u=x6u = \frac{x}{6}.

      Luego que du=dx6du = \frac{dx}{6} y ponemos 6du6 du:

      ∫6sin⁡(u) du\int 6 \sin{\left(u \right)}\, du

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫sin⁡(u) du=6∫sin⁡(u) du\int \sin{\left(u \right)}\, du = 6 \int \sin{\left(u \right)}\, du

        1. La integral del seno es un coseno menos:

          ∫sin⁡(u) du=−cos⁡(u)\int \sin{\left(u \right)}\, du = - \cos{\left(u \right)}

        Por lo tanto, el resultado es: −6cos⁡(u)- 6 \cos{\left(u \right)}

      Si ahora sustituir uu más en:

      −6cos⁡(x6)- 6 \cos{\left(\frac{x}{6} \right)}

    Por lo tanto, el resultado es: −36cos⁡(x6)- 36 \cos{\left(\frac{x}{6} \right)}

  3. Añadimos la constante de integración:

    6xsin⁡(x6)+36cos⁡(x6)+constant6 x \sin{\left(\frac{x}{6} \right)} + 36 \cos{\left(\frac{x}{6} \right)}+ \mathrm{constant}

Respuesta:

6xsin⁡(x6)+36cos⁡(x6)+constant6 x \sin{\left(\frac{x}{6} \right)} + 36 \cos{\left(\frac{x}{6} \right)}+ \mathrm{constant}

Respuesta (Indefinida) [src] 
  /                                        
 |                                         
 |      /x\                /x\          /x\
 | x*cos|-| dx = C + 36*cos|-| + 6*x*sin|-|
 |      \6/                \6/          \6/
 |                                         
/
∫xcos⁡(x6) dx=C+6xsin⁡(x6)+36cos⁡(x6)\int x \cos{\left(\frac{x}{6} \right)}\, dx = C + 6 x \sin{\left(\frac{x}{6} \right)} + 36 \cos{\left(\frac{x}{6} \right)}
Simplificar
Gráfica
024681012141618-100100
Trazar el gráfico f(x)
Respuesta [src] 
-72
−72-72 
=
= 
-72
−72-72 
-72
Respuesta numérica [src] 
-72.0
-72.0

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.

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