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Resolución de integrales/ x^1/2/ 2+lnx/ (x^1/2+lnx)/x

Integral de (x^1/2+lnx)/x dx

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
  1                  
  /                  
 |                   
 |    ___            
 |  \/ x  + log(x)   
 |  -------------- dx
 |        x          
 |                   
/                    
0
∫01x+log⁡(x)x dx\int\limits_{0}^{1} \frac{\sqrt{x} + \log{\left(x \right)}}{x}\, dx 
Integral((sqrt(x) + log(x))/x, (x, 0, 1))
Solución detallada

  1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

    Método #1

    1. que u=xu = \sqrt{x}.

      Luego que du=dx2xdu = \frac{dx}{2 \sqrt{x}} y ponemos dudu:

      ∫2u+2log⁡(u2)u du\int \frac{2 u + 2 \log{\left(u^{2} \right)}}{u}\, du

      1. que u=1uu = \frac{1}{u}.

        Luego que du=−duu2du = - \frac{du}{u^{2}} y ponemos −du- du:

        ∫(−2ulog⁡(1u2)+2u2) du\int \left(- \frac{2 u \log{\left(\frac{1}{u^{2}} \right)} + 2}{u^{2}}\right)\, du

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫2ulog⁡(1u2)+2u2 du=−∫2ulog⁡(1u2)+2u2 du\int \frac{2 u \log{\left(\frac{1}{u^{2}} \right)} + 2}{u^{2}}\, du = - \int \frac{2 u \log{\left(\frac{1}{u^{2}} \right)} + 2}{u^{2}}\, du

          1. Vuelva a escribir el integrando:

            2ulog⁡(1u2)+2u2=2log⁡(1u2)u+2u2\frac{2 u \log{\left(\frac{1}{u^{2}} \right)} + 2}{u^{2}} = \frac{2 \log{\left(\frac{1}{u^{2}} \right)}}{u} + \frac{2}{u^{2}}

          2. Integramos término a término:

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              ∫2log⁡(1u2)u du=2∫log⁡(1u2)u du\int \frac{2 \log{\left(\frac{1}{u^{2}} \right)}}{u}\, du = 2 \int \frac{\log{\left(\frac{1}{u^{2}} \right)}}{u}\, du

              1. que u=1uu = \frac{1}{u}.

                Luego que du=−duu2du = - \frac{du}{u^{2}} y ponemos −du- du:

                ∫(−log⁡(u2)u) du\int \left(- \frac{\log{\left(u^{2} \right)}}{u}\right)\, du

                1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  ∫log⁡(u2)u du=−∫log⁡(u2)u du\int \frac{\log{\left(u^{2} \right)}}{u}\, du = - \int \frac{\log{\left(u^{2} \right)}}{u}\, du

                  1. que u=log⁡(u2)u = \log{\left(u^{2} \right)}.

                    Luego que du=2duudu = \frac{2 du}{u} y ponemos du2\frac{du}{2}:

                    ∫u2 du\int \frac{u}{2}\, du

                    1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                      ∫u du=∫u du2\int u\, du = \frac{\int u\, du}{2}

                      1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

                        ∫u du=u22\int u\, du = \frac{u^{2}}{2}

                      Por lo tanto, el resultado es: u24\frac{u^{2}}{4}

                    Si ahora sustituir uu más en:

                    log⁡(u2)24\frac{\log{\left(u^{2} \right)}^{2}}{4}

                  Por lo tanto, el resultado es: −log⁡(u2)24- \frac{\log{\left(u^{2} \right)}^{2}}{4}

                Si ahora sustituir uu más en:

                −log⁡(1u2)24- \frac{\log{\left(\frac{1}{u^{2}} \right)}^{2}}{4}

              Por lo tanto, el resultado es: −log⁡(1u2)22- \frac{\log{\left(\frac{1}{u^{2}} \right)}^{2}}{2}

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              ∫2u2 du=2∫1u2 du\int \frac{2}{u^{2}}\, du = 2 \int \frac{1}{u^{2}}\, du

              1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

                ∫1u2 du=−1u\int \frac{1}{u^{2}}\, du = - \frac{1}{u}

              Por lo tanto, el resultado es: −2u- \frac{2}{u}

            El resultado es: −log⁡(1u2)22−2u- \frac{\log{\left(\frac{1}{u^{2}} \right)}^{2}}{2} - \frac{2}{u}

          Por lo tanto, el resultado es: log⁡(1u2)22+2u\frac{\log{\left(\frac{1}{u^{2}} \right)}^{2}}{2} + \frac{2}{u}

        Si ahora sustituir uu más en:

        2u+log⁡(u2)222 u + \frac{\log{\left(u^{2} \right)}^{2}}{2}

      Si ahora sustituir uu más en:

      2x+log⁡(x)222 \sqrt{x} + \frac{\log{\left(x \right)}^{2}}{2}

    Método #2

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      x+log⁡(x)x=log⁡(x)x+1x\frac{\sqrt{x} + \log{\left(x \right)}}{x} = \frac{\log{\left(x \right)}}{x} + \frac{1}{\sqrt{x}}

    2. Integramos término a término:

      1. que u=1xu = \frac{1}{x}.

        Luego que du=−dxx2du = - \frac{dx}{x^{2}} y ponemos −du- du:

        ∫(−log⁡(1u)u) du\int \left(- \frac{\log{\left(\frac{1}{u} \right)}}{u}\right)\, du

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫log⁡(1u)u du=−∫log⁡(1u)u du\int \frac{\log{\left(\frac{1}{u} \right)}}{u}\, du = - \int \frac{\log{\left(\frac{1}{u} \right)}}{u}\, du

          1. que u=log⁡(1u)u = \log{\left(\frac{1}{u} \right)}.

            Luego que du=−duudu = - \frac{du}{u} y ponemos −du- du:

            ∫(−u) du\int \left(- u\right)\, du

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              ∫u du=−∫u du\int u\, du = - \int u\, du

              1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

                ∫u du=u22\int u\, du = \frac{u^{2}}{2}

              Por lo tanto, el resultado es: −u22- \frac{u^{2}}{2}

            Si ahora sustituir uu más en:

            −log⁡(1u)22- \frac{\log{\left(\frac{1}{u} \right)}^{2}}{2}

          Por lo tanto, el resultado es: log⁡(1u)22\frac{\log{\left(\frac{1}{u} \right)}^{2}}{2}

        Si ahora sustituir uu más en:

        log⁡(x)22\frac{\log{\left(x \right)}^{2}}{2}

      1. Integral xnx^{n} es xn+1n+1\frac{x^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

        ∫1x dx=2x\int \frac{1}{\sqrt{x}}\, dx = 2 \sqrt{x}

      El resultado es: 2x+log⁡(x)222 \sqrt{x} + \frac{\log{\left(x \right)}^{2}}{2}

  2. Añadimos la constante de integración:

    2x+log⁡(x)22+constant2 \sqrt{x} + \frac{\log{\left(x \right)}^{2}}{2}+ \mathrm{constant}

Respuesta:

2x+log⁡(x)22+constant2 \sqrt{x} + \frac{\log{\left(x \right)}^{2}}{2}+ \mathrm{constant}

Respuesta (Indefinida) [src] 
  /                                         
 |                                          
 |   ___                      2             
 | \/ x  + log(x)          log (x)       ___
 | -------------- dx = C + ------- + 2*\/ x 
 |       x                    2             
 |                                          
/
∫x+log⁡(x)x dx=C+2x+log⁡(x)22\int \frac{\sqrt{x} + \log{\left(x \right)}}{x}\, dx = C + 2 \sqrt{x} + \frac{\log{\left(x \right)}^{2}}{2}
Simplificar
Respuesta [src] 
-oo
−∞-\infty 
=
= 
-oo
−∞-\infty 
-oo
Respuesta numérica [src] 
-969.963863415857
-969.963863415857

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.

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