Integral de sin(2*x)*cos(2*x)/2 dx

1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

   $\int \frac{\sin{\left(2 x \right)} \cos{\left(2 x \right)}}{2}\, dx = \frac{\int \sin{\left(2 x \right)} \cos{\left(2 x \right)}\, dx}{2}$

   1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

      Método #1

      1. que $u = \cos{\left(2 x \right)}$.

         Luego que $du = - 2 \sin{\left(2 x \right)} dx$ y ponemos $- \frac{du}{2}$:

         $\int \left(- \frac{u}{2}\right)\, du$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int u\, du = - \frac{\int u\, du}{2}$

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int u\, du = \frac{u^{2}}{2}$

            Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{u^{2}}{4}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $- \frac{\cos^{2}{\left(2 x \right)}}{4}$

      Método #2

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 2 \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} \cos{\left(2 x \right)}\, dx = 2 \int \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} \cos{\left(2 x \right)}\, dx$

         1. Vuelva a escribir el integrando:

            $\sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} \cos{\left(2 x \right)} = 2 \sin{\left(x \right)} \cos^{3}{\left(x \right)} - \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}$

         2. Integramos término a término:

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int 2 \sin{\left(x \right)} \cos^{3}{\left(x \right)}\, dx = 2 \int \sin{\left(x \right)} \cos^{3}{\left(x \right)}\, dx$

               1. que $u = \cos{\left(x \right)}$.

                  Luego que $du = - \sin{\left(x \right)} dx$ y ponemos $- du$:

                  $\int \left(- u^{3}\right)\, du$

                  1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                     $\int u^{3}\, du = - \int u^{3}\, du$

                     1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                        $\int u^{3}\, du = \frac{u^{4}}{4}$

                     Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{u^{4}}{4}$

                  Si ahora sustituir $u$ más en:

                  $- \frac{\cos^{4}{\left(x \right)}}{4}$

               Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{\cos^{4}{\left(x \right)}}{2}$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \left(- \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\right)\, dx = - \int \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\, dx$

               1. que $u = \cos{\left(x \right)}$.

                  Luego que $du = - \sin{\left(x \right)} dx$ y ponemos $- du$:

                  $\int \left(- u\right)\, du$

                  1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                     $\int u\, du = - \int u\, du$

                     1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                        $\int u\, du = \frac{u^{2}}{2}$

                     Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{u^{2}}{2}$

                  Si ahora sustituir $u$ más en:

                  $- \frac{\cos^{2}{\left(x \right)}}{2}$

               Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\cos^{2}{\left(x \right)}}{2}$

            El resultado es: $- \frac{\cos^{4}{\left(x \right)}}{2} + \frac{\cos^{2}{\left(x \right)}}{2}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- \cos^{4}{\left(x \right)} + \cos^{2}{\left(x \right)}$

   Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{\cos^{2}{\left(2 x \right)}}{8}$

2. Añadimos la constante de integración:

   $- \frac{\cos^{2}{\left(2 x \right)}}{8}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$- \frac{\cos^{2}{\left(2 x \right)}}{8}+ \mathrm{constant}$