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Resolución de integrales/ cos(2*x)/ sin(2*x)/ sin(2*x)*cos(2*x)/2

Integral de sin(2*x)*cos(2*x)/2 dx

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
  1                     
  /                     
 |                      
 |  sin(2*x)*cos(2*x)   
 |  ----------------- dx
 |          2           
 |                      
/                       
0
∫01sin⁡(2x)cos⁡(2x)2 dx\int\limits_{0}^{1} \frac{\sin{\left(2 x \right)} \cos{\left(2 x \right)}}{2}\, dx 
Integral((sin(2*x)*cos(2*x))/2, (x, 0, 1))
Solución detallada

  1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

    ∫sin⁡(2x)cos⁡(2x)2 dx=∫sin⁡(2x)cos⁡(2x) dx2\int \frac{\sin{\left(2 x \right)} \cos{\left(2 x \right)}}{2}\, dx = \frac{\int \sin{\left(2 x \right)} \cos{\left(2 x \right)}\, dx}{2}

    1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

      Método #1

      1. que u=cos⁡(2x)u = \cos{\left(2 x \right)}.

        Luego que du=−2sin⁡(2x)dxdu = - 2 \sin{\left(2 x \right)} dx y ponemos −du2- \frac{du}{2}:

        ∫(−u2) du\int \left(- \frac{u}{2}\right)\, du

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫u du=−∫u du2\int u\, du = - \frac{\int u\, du}{2}

          1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

            ∫u du=u22\int u\, du = \frac{u^{2}}{2}

          Por lo tanto, el resultado es: −u24- \frac{u^{2}}{4}

        Si ahora sustituir uu más en:

        −cos⁡2(2x)4- \frac{\cos^{2}{\left(2 x \right)}}{4}

      Método #2

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫2sin⁡(x)cos⁡(x)cos⁡(2x) dx=2∫sin⁡(x)cos⁡(x)cos⁡(2x) dx\int 2 \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} \cos{\left(2 x \right)}\, dx = 2 \int \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} \cos{\left(2 x \right)}\, dx

        1. Vuelva a escribir el integrando:

          sin⁡(x)cos⁡(x)cos⁡(2x)=2sin⁡(x)cos⁡3(x)−sin⁡(x)cos⁡(x)\sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} \cos{\left(2 x \right)} = 2 \sin{\left(x \right)} \cos^{3}{\left(x \right)} - \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}

        2. Integramos término a término:

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫2sin⁡(x)cos⁡3(x) dx=2∫sin⁡(x)cos⁡3(x) dx\int 2 \sin{\left(x \right)} \cos^{3}{\left(x \right)}\, dx = 2 \int \sin{\left(x \right)} \cos^{3}{\left(x \right)}\, dx

            1. que u=cos⁡(x)u = \cos{\left(x \right)}.

              Luego que du=−sin⁡(x)dxdu = - \sin{\left(x \right)} dx y ponemos −du- du:

              ∫(−u3) du\int \left(- u^{3}\right)\, du

              1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                ∫u3 du=−∫u3 du\int u^{3}\, du = - \int u^{3}\, du

                1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

                  ∫u3 du=u44\int u^{3}\, du = \frac{u^{4}}{4}

                Por lo tanto, el resultado es: −u44- \frac{u^{4}}{4}

              Si ahora sustituir uu más en:

              −cos⁡4(x)4- \frac{\cos^{4}{\left(x \right)}}{4}

            Por lo tanto, el resultado es: −cos⁡4(x)2- \frac{\cos^{4}{\left(x \right)}}{2}

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫(−sin⁡(x)cos⁡(x)) dx=−∫sin⁡(x)cos⁡(x) dx\int \left(- \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\right)\, dx = - \int \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\, dx

            1. que u=cos⁡(x)u = \cos{\left(x \right)}.

              Luego que du=−sin⁡(x)dxdu = - \sin{\left(x \right)} dx y ponemos −du- du:

              ∫(−u) du\int \left(- u\right)\, du

              1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                ∫u du=−∫u du\int u\, du = - \int u\, du

                1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

                  ∫u du=u22\int u\, du = \frac{u^{2}}{2}

                Por lo tanto, el resultado es: −u22- \frac{u^{2}}{2}

              Si ahora sustituir uu más en:

              −cos⁡2(x)2- \frac{\cos^{2}{\left(x \right)}}{2}

            Por lo tanto, el resultado es: cos⁡2(x)2\frac{\cos^{2}{\left(x \right)}}{2}

          El resultado es: −cos⁡4(x)2+cos⁡2(x)2- \frac{\cos^{4}{\left(x \right)}}{2} + \frac{\cos^{2}{\left(x \right)}}{2}

        Por lo tanto, el resultado es: −cos⁡4(x)+cos⁡2(x)- \cos^{4}{\left(x \right)} + \cos^{2}{\left(x \right)}

    Por lo tanto, el resultado es: −cos⁡2(2x)8- \frac{\cos^{2}{\left(2 x \right)}}{8}

  2. Añadimos la constante de integración:

    −cos⁡2(2x)8+constant- \frac{\cos^{2}{\left(2 x \right)}}{8}+ \mathrm{constant}

Respuesta:

−cos⁡2(2x)8+constant- \frac{\cos^{2}{\left(2 x \right)}}{8}+ \mathrm{constant}

Respuesta (Indefinida) [src] 
  /                                    
 |                               2     
 | sin(2*x)*cos(2*x)          cos (2*x)
 | ----------------- dx = C - ---------
 |         2                      8    
 |                                     
/
∫sin⁡(2x)cos⁡(2x)2 dx=C−cos⁡2(2x)8\int \frac{\sin{\left(2 x \right)} \cos{\left(2 x \right)}}{2}\, dx = C - \frac{\cos^{2}{\left(2 x \right)}}{8}
Simplificar
Gráfica
0.001.000.100.200.300.400.500.600.700.800.900.5-0.5
Trazar el gráfico f(x)
Respuesta [src] 
   2   
sin (2)
-------
   8
sin⁡2(2)8\frac{\sin^{2}{\left(2 \right)}}{8} 
=
= 
   2   
sin (2)
-------
   8
sin⁡2(2)8\frac{\sin^{2}{\left(2 \right)}}{8} 
sin(2)^2/8
Respuesta numérica [src] 
0.103352726303976
0.103352726303976

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.

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