Sr Examen

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Resolución de integrales/ loge(x)/ x(loge(x))^2

Integral de x(loge(x))^2 dx

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
  1                
  /                
 |                 
 |             2   
 |    / log(x)\    
 |  x*|-------|  dx
 |    |   / 1\|    
 |    \log\e //    
 |                 
/                  
0
∫01x(log⁡(x)log⁡(e1))2 dx\int\limits_{0}^{1} x \left(\frac{\log{\left(x \right)}}{\log{\left(e^{1} \right)}}\right)^{2}\, dx 
Integral(x*(log(x)/log(exp(1)))^2, (x, 0, 1))
Solución detallada

  1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

    Método #1

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      x(log⁡(x)log⁡(e1))2=xlog⁡(x)2x \left(\frac{\log{\left(x \right)}}{\log{\left(e^{1} \right)}}\right)^{2} = x \log{\left(x \right)}^{2}

    2. que u=log⁡(x)u = \log{\left(x \right)}.

      Luego que du=dxxdu = \frac{dx}{x} y ponemos dudu:

      ∫u2e2u du\int u^{2} e^{2 u}\, du

      1. Usamos la integración por partes:

        ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

        que u(u)=u2u{\left(u \right)} = u^{2} y que dv⁡(u)=e2u\operatorname{dv}{\left(u \right)} = e^{2 u}.

        Entonces du⁡(u)=2u\operatorname{du}{\left(u \right)} = 2 u.

        Para buscar v(u)v{\left(u \right)}:

        1. que u=2uu = 2 u.

          Luego que du=2dudu = 2 du y ponemos du2\frac{du}{2}:

          ∫eu2 du\int \frac{e^{u}}{2}\, du

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            False\text{False}

            1. La integral de la función exponencial es la mesma.

              ∫eu du=eu\int e^{u}\, du = e^{u}

            Por lo tanto, el resultado es: eu2\frac{e^{u}}{2}

          Si ahora sustituir uu más en:

          e2u2\frac{e^{2 u}}{2}

        Ahora resolvemos podintegral.

      2. Usamos la integración por partes:

        ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

        que u(u)=uu{\left(u \right)} = u y que dv⁡(u)=e2u\operatorname{dv}{\left(u \right)} = e^{2 u}.

        Entonces du⁡(u)=1\operatorname{du}{\left(u \right)} = 1.

        Para buscar v(u)v{\left(u \right)}:

        1. que u=2uu = 2 u.

          Luego que du=2dudu = 2 du y ponemos du2\frac{du}{2}:

          ∫eu2 du\int \frac{e^{u}}{2}\, du

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            False\text{False}

            1. La integral de la función exponencial es la mesma.

              ∫eu du=eu\int e^{u}\, du = e^{u}

            Por lo tanto, el resultado es: eu2\frac{e^{u}}{2}

          Si ahora sustituir uu más en:

          e2u2\frac{e^{2 u}}{2}

        Ahora resolvemos podintegral.

      3. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫e2u2 du=∫e2u du2\int \frac{e^{2 u}}{2}\, du = \frac{\int e^{2 u}\, du}{2}

        1. que u=2uu = 2 u.

          Luego que du=2dudu = 2 du y ponemos du2\frac{du}{2}:

          ∫eu2 du\int \frac{e^{u}}{2}\, du

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            False\text{False}

            1. La integral de la función exponencial es la mesma.

              ∫eu du=eu\int e^{u}\, du = e^{u}

            Por lo tanto, el resultado es: eu2\frac{e^{u}}{2}

          Si ahora sustituir uu más en:

          e2u2\frac{e^{2 u}}{2}

        Por lo tanto, el resultado es: e2u4\frac{e^{2 u}}{4}

      Si ahora sustituir uu más en:

      x2log⁡(x)22−x2log⁡(x)2+x24\frac{x^{2} \log{\left(x \right)}^{2}}{2} - \frac{x^{2} \log{\left(x \right)}}{2} + \frac{x^{2}}{4}

    Método #2

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      x(log⁡(x)log⁡(e1))2=xlog⁡(x)2x \left(\frac{\log{\left(x \right)}}{\log{\left(e^{1} \right)}}\right)^{2} = x \log{\left(x \right)}^{2}

    2. que u=log⁡(x)u = \log{\left(x \right)}.

      Luego que du=dxxdu = \frac{dx}{x} y ponemos dudu:

      ∫u2e2u du\int u^{2} e^{2 u}\, du

      1. Usamos la integración por partes:

        ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

        que u(u)=u2u{\left(u \right)} = u^{2} y que dv⁡(u)=e2u\operatorname{dv}{\left(u \right)} = e^{2 u}.

        Entonces du⁡(u)=2u\operatorname{du}{\left(u \right)} = 2 u.

        Para buscar v(u)v{\left(u \right)}:

        1. que u=2uu = 2 u.

          Luego que du=2dudu = 2 du y ponemos du2\frac{du}{2}:

          ∫eu2 du\int \frac{e^{u}}{2}\, du

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            False\text{False}

            1. La integral de la función exponencial es la mesma.

              ∫eu du=eu\int e^{u}\, du = e^{u}

            Por lo tanto, el resultado es: eu2\frac{e^{u}}{2}

          Si ahora sustituir uu más en:

          e2u2\frac{e^{2 u}}{2}

        Ahora resolvemos podintegral.

      2. Usamos la integración por partes:

        ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

        que u(u)=uu{\left(u \right)} = u y que dv⁡(u)=e2u\operatorname{dv}{\left(u \right)} = e^{2 u}.

        Entonces du⁡(u)=1\operatorname{du}{\left(u \right)} = 1.

        Para buscar v(u)v{\left(u \right)}:

        1. que u=2uu = 2 u.

          Luego que du=2dudu = 2 du y ponemos du2\frac{du}{2}:

          ∫eu2 du\int \frac{e^{u}}{2}\, du

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            False\text{False}

            1. La integral de la función exponencial es la mesma.

              ∫eu du=eu\int e^{u}\, du = e^{u}

            Por lo tanto, el resultado es: eu2\frac{e^{u}}{2}

          Si ahora sustituir uu más en:

          e2u2\frac{e^{2 u}}{2}

        Ahora resolvemos podintegral.

      3. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫e2u2 du=∫e2u du2\int \frac{e^{2 u}}{2}\, du = \frac{\int e^{2 u}\, du}{2}

        1. que u=2uu = 2 u.

          Luego que du=2dudu = 2 du y ponemos du2\frac{du}{2}:

          ∫eu2 du\int \frac{e^{u}}{2}\, du

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            False\text{False}

            1. La integral de la función exponencial es la mesma.

              ∫eu du=eu\int e^{u}\, du = e^{u}

            Por lo tanto, el resultado es: eu2\frac{e^{u}}{2}

          Si ahora sustituir uu más en:

          e2u2\frac{e^{2 u}}{2}

        Por lo tanto, el resultado es: e2u4\frac{e^{2 u}}{4}

      Si ahora sustituir uu más en:

      x2log⁡(x)22−x2log⁡(x)2+x24\frac{x^{2} \log{\left(x \right)}^{2}}{2} - \frac{x^{2} \log{\left(x \right)}}{2} + \frac{x^{2}}{4}

  2. Ahora simplificar:

    x2(2log⁡(x)2−2log⁡(x)+1)4\frac{x^{2} \left(2 \log{\left(x \right)}^{2} - 2 \log{\left(x \right)} + 1\right)}{4}

  3. Añadimos la constante de integración:

    x2(2log⁡(x)2−2log⁡(x)+1)4+constant\frac{x^{2} \left(2 \log{\left(x \right)}^{2} - 2 \log{\left(x \right)} + 1\right)}{4}+ \mathrm{constant}

Respuesta:

x2(2log⁡(x)2−2log⁡(x)+1)4+constant\frac{x^{2} \left(2 \log{\left(x \right)}^{2} - 2 \log{\left(x \right)} + 1\right)}{4}+ \mathrm{constant}

Respuesta (Indefinida) [src] 
  /                                                 
 |                                                  
 |            2           2    2    2       2       
 |   / log(x)\           x    x *log (x)   x *log(x)
 | x*|-------|  dx = C + -- + ---------- - ---------
 |   |   / 1\|           4        2            2    
 |   \log\e //                                      
 |                                                  
/
∫x(log⁡(x)log⁡(e1))2 dx=C+x2log⁡(x)22−x2log⁡(x)2+x24\int x \left(\frac{\log{\left(x \right)}}{\log{\left(e^{1} \right)}}\right)^{2}\, dx = C + \frac{x^{2} \log{\left(x \right)}^{2}}{2} - \frac{x^{2} \log{\left(x \right)}}{2} + \frac{x^{2}}{4}
Simplificar
Gráfica
0.001.000.100.200.300.400.500.600.700.800.900.01.0
Trazar el gráfico f(x)
Respuesta [src] 
1/4
14\frac{1}{4} 
=
= 
1/4
14\frac{1}{4} 
1/4
Respuesta numérica [src] 
0.25
0.25

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.

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