Integral de e^(5*x)*sin(2*x) dx

1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

   $\int 2 e^{5 x} \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\, dx = 2 \int e^{5 x} \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\, dx$

   1. Usamos la integración por partes:

      $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

      que $u{\left(x \right)} = \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}$ y que $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = e^{5 x}$.

      Entonces $\operatorname{du}{\left(x \right)} = - \sin^{2}{\left(x \right)} + \cos^{2}{\left(x \right)}$.

      Para buscar $v{\left(x \right)}$:

      1. que $u = 5 x$.

         Luego que $du = 5 dx$ y ponemos $\frac{du}{5}$:

         $\int \frac{e^{u}}{5}\, du$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\text{False}$

            1. La integral de la función exponencial es la mesma.

               $\int e^{u}\, du = e^{u}$

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{e^{u}}{5}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $\frac{e^{5 x}}{5}$

      Ahora resolvemos podintegral.

   2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int \frac{\left(- \sin^{2}{\left(x \right)} + \cos^{2}{\left(x \right)}\right) e^{5 x}}{5}\, dx = \frac{\int \left(- \sin^{2}{\left(x \right)} + \cos^{2}{\left(x \right)}\right) e^{5 x}\, dx}{5}$

      1. Vuelva a escribir el integrando:

         $\left(- \sin^{2}{\left(x \right)} + \cos^{2}{\left(x \right)}\right) e^{5 x} = - e^{5 x} \sin^{2}{\left(x \right)} + e^{5 x} \cos^{2}{\left(x \right)}$

      2. Integramos término a término:

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \left(- e^{5 x} \sin^{2}{\left(x \right)}\right)\, dx = - \int e^{5 x} \sin^{2}{\left(x \right)}\, dx$

            1. No puedo encontrar los pasos en la búsqueda de esta integral.

               Pero la integral

               $\frac{27 e^{5 x} \sin^{2}{\left(x \right)}}{145} - \frac{2 e^{5 x} \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}}{29} + \frac{2 e^{5 x} \cos^{2}{\left(x \right)}}{145}$

            Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{27 e^{5 x} \sin^{2}{\left(x \right)}}{145} + \frac{2 e^{5 x} \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}}{29} - \frac{2 e^{5 x} \cos^{2}{\left(x \right)}}{145}$

         1. No puedo encontrar los pasos en la búsqueda de esta integral.

            Pero la integral

            $\frac{2 e^{5 x} \sin^{2}{\left(x \right)}}{145} + \frac{2 e^{5 x} \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}}{29} + \frac{27 e^{5 x} \cos^{2}{\left(x \right)}}{145}$

         El resultado es: $- \frac{5 e^{5 x} \sin^{2}{\left(x \right)}}{29} + \frac{4 e^{5 x} \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}}{29} + \frac{5 e^{5 x} \cos^{2}{\left(x \right)}}{29}$

      Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{e^{5 x} \sin^{2}{\left(x \right)}}{29} + \frac{4 e^{5 x} \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}}{145} + \frac{e^{5 x} \cos^{2}{\left(x \right)}}{29}$

   Por lo tanto, el resultado es: $\frac{2 e^{5 x} \sin^{2}{\left(x \right)}}{29} + \frac{10 e^{5 x} \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}}{29} - \frac{2 e^{5 x} \cos^{2}{\left(x \right)}}{29}$

2. Ahora simplificar:

   $\frac{\left(5 \sin{\left(2 x \right)} - 2 \cos{\left(2 x \right)}\right) e^{5 x}}{29}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $\frac{\left(5 \sin{\left(2 x \right)} - 2 \cos{\left(2 x \right)}\right) e^{5 x}}{29}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{\left(5 \sin{\left(2 x \right)} - 2 \cos{\left(2 x \right)}\right) e^{5 x}}{29}+ \mathrm{constant}$