Integral de e^(x/2)/sqrt(16-e^x) dx

1. que $u = e^{\frac{x}{2}}$.

   Luego que $du = \frac{e^{\frac{x}{2}} dx}{2}$ y ponemos $2 du$:

   $\int \frac{2}{\sqrt{16 - u^{2}}}\, du$

   1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int \frac{1}{\sqrt{16 - u^{2}}}\, du = 2 \int \frac{1}{\sqrt{16 - u^{2}}}\, du$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{1}{\sqrt{16 - u^{2}}}\, du = \frac{\int \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{u^{2}}{16}}}\, du}{4}$

         1. que $u = \frac{u}{4}$.

            Luego que $du = \frac{du}{4}$ y ponemos $4 du$:

            $\int \frac{16}{\sqrt{1 - u^{2}}}\, du$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \frac{4}{\sqrt{1 - u^{2}}}\, du = 4 \int \frac{1}{\sqrt{1 - u^{2}}}\, du$

               ArcsinRule(context=1/sqrt(1 - _u**2), symbol=_u)

               Por lo tanto, el resultado es: $4 \operatorname{asin}{\left(u \right)}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $4 \operatorname{asin}{\left(\frac{u}{4} \right)}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\operatorname{asin}{\left(\frac{u}{4} \right)}$

      Por lo tanto, el resultado es: $2 \operatorname{asin}{\left(\frac{u}{4} \right)}$

   Si ahora sustituir $u$ más en:

   $2 \operatorname{asin}{\left(\frac{e^{\frac{x}{2}}}{4} \right)}$

2. Ahora simplificar:

   $2 \operatorname{asin}{\left(\frac{e^{\frac{x}{2}}}{4} \right)}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $2 \operatorname{asin}{\left(\frac{e^{\frac{x}{2}}}{4} \right)}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$2 \operatorname{asin}{\left(\frac{e^{\frac{x}{2}}}{4} \right)}+ \mathrm{constant}$