Integral de (x^2*2^x+3*x^3+7*x)*dx/x^2 dx

1. Vuelva a escribir el integrando:

   $\frac{7 x + \left(2^{x} x^{2} + 3 x^{3}\right)}{x^{2}} = \frac{2^{x} x + 3 x^{2} + 7}{x}$

2. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. que $u = \frac{1}{x}$.

      Luego que $du = - \frac{dx}{x^{2}}$ y ponemos $- du$:

      $\int \left(- \frac{2^{\frac{1}{u}} u + 7 u^{2} + 3}{u^{3}}\right)\, du$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{2^{\frac{1}{u}} u + 7 u^{2} + 3}{u^{3}}\, du = - \int \frac{2^{\frac{1}{u}} u + 7 u^{2} + 3}{u^{3}}\, du$

         1. Vuelva a escribir el integrando:

            $\frac{2^{\frac{1}{u}} u + 7 u^{2} + 3}{u^{3}} = \frac{2^{\frac{1}{u}}}{u^{2}} + \frac{7}{u} + \frac{3}{u^{3}}$

         2. Integramos término a término:

            1. que $u = \frac{1}{u}$.

               Luego que $du = - \frac{du}{u^{2}}$ y ponemos $- du$:

               $\int \left(- 2^{u}\right)\, du$

               1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  $\int 2^{u}\, du = - \int 2^{u}\, du$

                  1. La integral de la función exponencial es igual a la mesma, dividida por la base de logaritmo natural.

                     $\int 2^{u}\, du = \frac{2^{u}}{\log{\left(2 \right)}}$

                  Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{2^{u}}{\log{\left(2 \right)}}$

               Si ahora sustituir $u$ más en:

               $- \frac{2^{\frac{1}{u}}}{\log{\left(2 \right)}}$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \frac{7}{u}\, du = 7 \int \frac{1}{u}\, du$

               1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

               Por lo tanto, el resultado es: $7 \log{\left(u \right)}$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \frac{3}{u^{3}}\, du = 3 \int \frac{1}{u^{3}}\, du$

               1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                  $\int \frac{1}{u^{3}}\, du = - \frac{1}{2 u^{2}}$

               Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{3}{2 u^{2}}$

            El resultado es: $- \frac{2^{\frac{1}{u}}}{\log{\left(2 \right)}} + 7 \log{\left(u \right)} - \frac{3}{2 u^{2}}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{2^{\frac{1}{u}}}{\log{\left(2 \right)}} - 7 \log{\left(u \right)} + \frac{3}{2 u^{2}}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $\frac{2^{x}}{\log{\left(2 \right)}} + \frac{3 x^{2}}{2} + 7 \log{\left(x \right)}$

   Método #2

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\frac{2^{x} x + 3 x^{2} + 7}{x} = 2^{x} + 3 x + \frac{7}{x}$

   2. Integramos término a término:

      1. La integral de la función exponencial es igual a la mesma, dividida por la base de logaritmo natural.

         $\int 2^{x}\, dx = \frac{2^{x}}{\log{\left(2 \right)}}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 3 x\, dx = 3 \int x\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{3 x^{2}}{2}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{7}{x}\, dx = 7 \int \frac{1}{x}\, dx$

         1. Integral $\frac{1}{x}$ es $\log{\left(x \right)}$.

         Por lo tanto, el resultado es: $7 \log{\left(x \right)}$

      El resultado es: $\frac{2^{x}}{\log{\left(2 \right)}} + \frac{3 x^{2}}{2} + 7 \log{\left(x \right)}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $\frac{2^{x}}{\log{\left(2 \right)}} + \frac{3 x^{2}}{2} + 7 \log{\left(x \right)}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{2^{x}}{\log{\left(2 \right)}} + \frac{3 x^{2}}{2} + 7 \log{\left(x \right)}+ \mathrm{constant}$