Integral de arctag((2/x+2cos(j)/x))*sqrt(1+4sin(j)^2) dx

1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

   $\int \sqrt{4 \sin^{2}{\left(i \right)} + 1} \operatorname{atan}{\left(\frac{2}{x} + \frac{2 \cos{\left(i \right)}}{x} \right)}\, dx = \sqrt{4 \sin^{2}{\left(i \right)} + 1} \int \operatorname{atan}{\left(\frac{2}{x} + \frac{2 \cos{\left(i \right)}}{x} \right)}\, dx$

   1. Usamos la integración por partes:

      $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

      que $u{\left(x \right)} = \operatorname{atan}{\left(\frac{2}{x} + \frac{2 \cos{\left(i \right)}}{x} \right)}$ y que $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = 1$.

      Entonces $\operatorname{du}{\left(x \right)} = \frac{- \frac{2 \cos{\left(i \right)}}{x^{2}} - \frac{2}{x^{2}}}{\left(\frac{2}{x} + \frac{2 \cos{\left(i \right)}}{x}\right)^{2} + 1}$.

      Para buscar $v{\left(x \right)}$:

      1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

         $\int 1\, dx = x$

      Ahora resolvemos podintegral.

   2. Hay varias maneras de calcular esta integral.

      Método #1

      1. que $u = \frac{1}{x}$.

         Luego que $du = - \frac{dx}{x^{2}}$ y ponemos $du \left(2 + 2 \cos{\left(i \right)}\right)$:

         $\int \frac{2 + 2 \cos{\left(i \right)}}{4 u^{3} + 4 u^{3} \cos^{2}{\left(i \right)} + 8 u^{3} \cos{\left(i \right)} + u}\, du$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \frac{1}{4 u^{3} + 4 u^{3} \cos^{2}{\left(i \right)} + 8 u^{3} \cos{\left(i \right)} + u}\, du = \left(2 + 2 \cos{\left(i \right)}\right) \int \frac{1}{4 u^{3} + 4 u^{3} \cos^{2}{\left(i \right)} + 8 u^{3} \cos{\left(i \right)} + u}\, du$

            1. Vuelva a escribir el integrando:

               $\frac{1}{4 u^{3} + 4 u^{3} \cos^{2}{\left(i \right)} + 8 u^{3} \cos{\left(i \right)} + u} = - \frac{4 u \left(1 + \cosh{\left(1 \right)}\right)^{2}}{4 u^{2} + 4 u^{2} \cos^{2}{\left(i \right)} + 8 u^{2} \cos{\left(i \right)} + 1} + \frac{1}{u}$

            2. Integramos término a término:

               1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  $\int \left(- \frac{4 u \left(1 + \cosh{\left(1 \right)}\right)^{2}}{4 u^{2} + 4 u^{2} \cos^{2}{\left(i \right)} + 8 u^{2} \cos{\left(i \right)} + 1}\right)\, du = - 4 \left(1 + \cosh{\left(1 \right)}\right)^{2} \int \frac{u}{4 u^{2} + 4 u^{2} \cos^{2}{\left(i \right)} + 8 u^{2} \cos{\left(i \right)} + 1}\, du$

                  1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                     $\int \frac{u}{u^{2} \left(4 + 4 \cosh^{2}{\left(1 \right)} + 8 \cosh{\left(1 \right)}\right) + 1}\, du = \frac{\int \frac{u \left(8 + 8 \cosh^{2}{\left(1 \right)} + 16 \cosh{\left(1 \right)}\right)}{u^{2} \left(4 + 4 \cosh^{2}{\left(1 \right)} + 8 \cosh{\left(1 \right)}\right) + 1}\, du}{8 + 8 \cosh^{2}{\left(1 \right)} + 16 \cosh{\left(1 \right)}}$

                     1. que $u = u^{2} \left(4 + 4 \cosh^{2}{\left(1 \right)} + 8 \cosh{\left(1 \right)}\right) + 1$.

                        Luego que $du = 2 u \left(4 + 4 \cosh^{2}{\left(1 \right)} + 8 \cosh{\left(1 \right)}\right) du$ y ponemos $\frac{du}{8 + 8 \cosh^{2}{\left(1 \right)} + 16 \cosh{\left(1 \right)}}$:

                        $\int \frac{1}{u \left(8 + 8 \cosh^{2}{\left(1 \right)} + 16 \cosh{\left(1 \right)}\right)}\, du$

                        1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

                        Si ahora sustituir $u$ más en:

                        $\log{\left(u^{2} \left(4 + 4 \cosh^{2}{\left(1 \right)} + 8 \cosh{\left(1 \right)}\right) + 1 \right)}$

                     Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\log{\left(u^{2} \left(4 + 4 \cosh^{2}{\left(1 \right)} + 8 \cosh{\left(1 \right)}\right) + 1 \right)}}{8 + 8 \cosh^{2}{\left(1 \right)} + 16 \cosh{\left(1 \right)}}$

                  Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{4 \left(1 + \cosh{\left(1 \right)}\right)^{2} \log{\left(u^{2} \left(4 + 4 \cosh^{2}{\left(1 \right)} + 8 \cosh{\left(1 \right)}\right) + 1 \right)}}{8 + 8 \cosh^{2}{\left(1 \right)} + 16 \cosh{\left(1 \right)}}$

               1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

               El resultado es: $\log{\left(u \right)} - \frac{4 \left(1 + \cosh{\left(1 \right)}\right)^{2} \log{\left(u^{2} \left(4 + 4 \cosh^{2}{\left(1 \right)} + 8 \cosh{\left(1 \right)}\right) + 1 \right)}}{8 + 8 \cosh^{2}{\left(1 \right)} + 16 \cosh{\left(1 \right)}}$

            Por lo tanto, el resultado es: $\left(2 + 2 \cos{\left(i \right)}\right) \left(\log{\left(u \right)} - \frac{4 \left(1 + \cosh{\left(1 \right)}\right)^{2} \log{\left(u^{2} \left(4 + 4 \cosh^{2}{\left(1 \right)} + 8 \cosh{\left(1 \right)}\right) + 1 \right)}}{8 + 8 \cosh^{2}{\left(1 \right)} + 16 \cosh{\left(1 \right)}}\right)$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $\left(2 + 2 \cos{\left(i \right)}\right) \left(- \log{\left(x \right)} - \frac{4 \left(1 + \cosh{\left(1 \right)}\right)^{2} \log{\left(1 + \frac{4 + 4 \cosh^{2}{\left(1 \right)} + 8 \cosh{\left(1 \right)}}{x^{2}} \right)}}{8 + 8 \cosh^{2}{\left(1 \right)} + 16 \cosh{\left(1 \right)}}\right)$

      Método #2

      1. Vuelva a escribir el integrando:

         $\frac{x \left(- \frac{2 \cos{\left(i \right)}}{x^{2}} - \frac{2}{x^{2}}\right)}{\left(\frac{2}{x} + \frac{2 \cos{\left(i \right)}}{x}\right)^{2} + 1} = - \frac{2 x \left(1 + \cosh{\left(1 \right)}\right)}{x^{2} + 4 + 4 \cos^{2}{\left(i \right)} + 8 \cos{\left(i \right)}}$

      2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- \frac{2 x \left(1 + \cosh{\left(1 \right)}\right)}{x^{2} + 4 + 4 \cos^{2}{\left(i \right)} + 8 \cos{\left(i \right)}}\right)\, dx = \left(- 2 \cosh{\left(1 \right)} - 2\right) \int \frac{x}{x^{2} + 4 + 4 \cos^{2}{\left(i \right)} + 8 \cos{\left(i \right)}}\, dx$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \frac{x}{x^{2} + 4 + 4 \cos^{2}{\left(i \right)} + 8 \cos{\left(i \right)}}\, dx = \frac{\int \frac{2 x}{x^{2} + 4 + 4 \cos^{2}{\left(i \right)} + 8 \cos{\left(i \right)}}\, dx}{2}$

            1. que $u = x^{2} + 4 + 4 \cos^{2}{\left(i \right)} + 8 \cos{\left(i \right)}$.

               Luego que $du = 2 x dx$ y ponemos $\frac{du}{2}$:

               $\int \frac{1}{2 u}\, du$

               1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

               Si ahora sustituir $u$ más en:

               $\log{\left(x^{2} + 4 + 4 \cos^{2}{\left(i \right)} + 8 \cos{\left(i \right)} \right)}$

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\log{\left(x^{2} + 4 + 4 \cos^{2}{\left(i \right)} + 8 \cos{\left(i \right)} \right)}}{2}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\left(- 2 \cosh{\left(1 \right)} - 2\right) \log{\left(x^{2} + 4 + 4 \cos^{2}{\left(i \right)} + 8 \cos{\left(i \right)} \right)}}{2}$

      Método #3

      1. Vuelva a escribir el integrando:

         $\frac{x \left(- \frac{2 \cos{\left(i \right)}}{x^{2}} - \frac{2}{x^{2}}\right)}{\left(\frac{2}{x} + \frac{2 \cos{\left(i \right)}}{x}\right)^{2} + 1} = - \frac{2 x + 2 x \cos{\left(i \right)}}{x^{2} + 4 + 4 \cos^{2}{\left(i \right)} + 8 \cos{\left(i \right)}}$

      2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- \frac{2 x + 2 x \cos{\left(i \right)}}{x^{2} + 4 + 4 \cos^{2}{\left(i \right)} + 8 \cos{\left(i \right)}}\right)\, dx = - \int \frac{2 x + 2 x \cos{\left(i \right)}}{x^{2} + 4 + 4 \cos^{2}{\left(i \right)} + 8 \cos{\left(i \right)}}\, dx$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \frac{2 x \left(1 + \cosh{\left(1 \right)}\right)}{x^{2} + 4 + 4 \cos^{2}{\left(i \right)} + 8 \cos{\left(i \right)}}\, dx = \left(1 + \cosh{\left(1 \right)}\right) \int \frac{2 x}{x^{2} + 4 + 4 \cos^{2}{\left(i \right)} + 8 \cos{\left(i \right)}}\, dx$

            1. que $u = x^{2} + 4 + 4 \cos^{2}{\left(i \right)} + 8 \cos{\left(i \right)}$.

               Luego que $du = 2 x dx$ y ponemos $du \left(1 + \cosh{\left(1 \right)}\right)$:

               $\int \frac{1 + \cosh{\left(1 \right)}}{u}\, du$

               1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

               Si ahora sustituir $u$ más en:

               $\log{\left(x^{2} + 4 + 4 \cos^{2}{\left(i \right)} + 8 \cos{\left(i \right)} \right)}$

            Por lo tanto, el resultado es: $\left(1 + \cosh{\left(1 \right)}\right) \log{\left(x^{2} + 4 + 4 \cos^{2}{\left(i \right)} + 8 \cos{\left(i \right)} \right)}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- \left(1 + \cosh{\left(1 \right)}\right) \log{\left(x^{2} + 4 + 4 \cos^{2}{\left(i \right)} + 8 \cos{\left(i \right)} \right)}$

      Método #4

      1. Vuelva a escribir el integrando:

         $\frac{x \left(- \frac{2 \cos{\left(i \right)}}{x^{2}} - \frac{2}{x^{2}}\right)}{\left(\frac{2}{x} + \frac{2 \cos{\left(i \right)}}{x}\right)^{2} + 1} = - \frac{2 \cos{\left(i \right)}}{x + \frac{4}{x} + \frac{4 \cos^{2}{\left(i \right)}}{x} + \frac{8 \cos{\left(i \right)}}{x}} - \frac{2}{x + \frac{4}{x} + \frac{4 \cos^{2}{\left(i \right)}}{x} + \frac{8 \cos{\left(i \right)}}{x}}$

      2. Integramos término a término:

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \left(- \frac{2 \cos{\left(i \right)}}{x + \frac{4}{x} + \frac{4 \cos^{2}{\left(i \right)}}{x} + \frac{8 \cos{\left(i \right)}}{x}}\right)\, dx = - 2 \cos{\left(i \right)} \int \frac{1}{x + \frac{4}{x} + \frac{4 \cos^{2}{\left(i \right)}}{x} + \frac{8 \cos{\left(i \right)}}{x}}\, dx$

            1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

               Método #1

               1. Vuelva a escribir el integrando:

                  $\frac{1}{x + \frac{4}{x} + \frac{4 \cos^{2}{\left(i \right)}}{x} + \frac{8 \cos{\left(i \right)}}{x}} = \frac{x}{x^{2} + 4 + 4 \cos^{2}{\left(i \right)} + 8 \cos{\left(i \right)}}$

               2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  $\int \frac{x}{x^{2} + 4 + 4 \cos^{2}{\left(i \right)} + 8 \cos{\left(i \right)}}\, dx = \frac{\int \frac{2 x}{x^{2} + 4 + 4 \cos^{2}{\left(i \right)} + 8 \cos{\left(i \right)}}\, dx}{2}$

                  1. que $u = x^{2} + 4 + 4 \cos^{2}{\left(i \right)} + 8 \cos{\left(i \right)}$.

                     Luego que $du = 2 x dx$ y ponemos $\frac{du}{2}$:

                     $\int \frac{1}{2 u}\, du$

                     1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

                     Si ahora sustituir $u$ más en:

                     $\log{\left(x^{2} + 4 + 4 \cos^{2}{\left(i \right)} + 8 \cos{\left(i \right)} \right)}$

                  Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\log{\left(x^{2} + 4 + 4 \cos^{2}{\left(i \right)} + 8 \cos{\left(i \right)} \right)}}{2}$

               Método #2

               1. Vuelva a escribir el integrando:

                  $\frac{1}{x + \frac{4}{x} + \frac{4 \cos^{2}{\left(i \right)}}{x} + \frac{8 \cos{\left(i \right)}}{x}} = \frac{x}{x^{2} + 4 + 4 \cos^{2}{\left(i \right)} + 8 \cos{\left(i \right)}}$

               2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  $\int \frac{x}{x^{2} + 4 + 4 \cos^{2}{\left(i \right)} + 8 \cos{\left(i \right)}}\, dx = \frac{\int \frac{2 x}{x^{2} + 4 + 4 \cos^{2}{\left(i \right)} + 8 \cos{\left(i \right)}}\, dx}{2}$

                  1. que $u = x^{2} + 4 + 4 \cos^{2}{\left(i \right)} + 8 \cos{\left(i \right)}$.

                     Luego que $du = 2 x dx$ y ponemos $\frac{du}{2}$:

                     $\int \frac{1}{2 u}\, du$

                     1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

                     Si ahora sustituir $u$ más en:

                     $\log{\left(x^{2} + 4 + 4 \cos^{2}{\left(i \right)} + 8 \cos{\left(i \right)} \right)}$

                  Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\log{\left(x^{2} + 4 + 4 \cos^{2}{\left(i \right)} + 8 \cos{\left(i \right)} \right)}}{2}$

            Por lo tanto, el resultado es: $- \log{\left(x^{2} + 4 + 4 \cos^{2}{\left(i \right)} + 8 \cos{\left(i \right)} \right)} \cos{\left(i \right)}$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \left(- \frac{2}{x + \frac{4}{x} + \frac{4 \cos^{2}{\left(i \right)}}{x} + \frac{8 \cos{\left(i \right)}}{x}}\right)\, dx = - 2 \int \frac{1}{x + \frac{4}{x} + \frac{4 \cos^{2}{\left(i \right)}}{x} + \frac{8 \cos{\left(i \right)}}{x}}\, dx$

            1. Vuelva a escribir el integrando:

               $\frac{1}{x + \frac{4}{x} + \frac{4 \cos^{2}{\left(i \right)}}{x} + \frac{8 \cos{\left(i \right)}}{x}} = \frac{x}{x^{2} + 4 + 4 \cos^{2}{\left(i \right)} + 8 \cos{\left(i \right)}}$

            2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \frac{x}{x^{2} + 4 + 4 \cos^{2}{\left(i \right)} + 8 \cos{\left(i \right)}}\, dx = \frac{\int \frac{2 x}{x^{2} + 4 + 4 \cos^{2}{\left(i \right)} + 8 \cos{\left(i \right)}}\, dx}{2}$

               1. que $u = x^{2} + 4 + 4 \cos^{2}{\left(i \right)} + 8 \cos{\left(i \right)}$.

                  Luego que $du = 2 x dx$ y ponemos $\frac{du}{2}$:

                  $\int \frac{1}{2 u}\, du$

                  1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

                  Si ahora sustituir $u$ más en:

                  $\log{\left(x^{2} + 4 + 4 \cos^{2}{\left(i \right)} + 8 \cos{\left(i \right)} \right)}$

               Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\log{\left(x^{2} + 4 + 4 \cos^{2}{\left(i \right)} + 8 \cos{\left(i \right)} \right)}}{2}$

            Por lo tanto, el resultado es: $- \log{\left(x^{2} + 4 + 4 \cos^{2}{\left(i \right)} + 8 \cos{\left(i \right)} \right)}$

         El resultado es: $- \log{\left(x^{2} + 4 + 4 \cos^{2}{\left(i \right)} + 8 \cos{\left(i \right)} \right)} \cos{\left(i \right)} - \log{\left(x^{2} + 4 + 4 \cos^{2}{\left(i \right)} + 8 \cos{\left(i \right)} \right)}$

   Por lo tanto, el resultado es: $\left(x \operatorname{atan}{\left(\frac{2}{x} + \frac{2 \cos{\left(i \right)}}{x} \right)} - \left(2 + 2 \cos{\left(i \right)}\right) \left(- \log{\left(x \right)} - \frac{4 \left(1 + \cosh{\left(1 \right)}\right)^{2} \log{\left(1 + \frac{4 + 4 \cosh^{2}{\left(1 \right)} + 8 \cosh{\left(1 \right)}}{x^{2}} \right)}}{8 + 8 \cosh^{2}{\left(1 \right)} + 16 \cosh{\left(1 \right)}}\right)\right) \sqrt{4 \sin^{2}{\left(i \right)} + 1}$

2. Ahora simplificar:

   $\sqrt{1 - 4 \sinh^{2}{\left(1 \right)}} \left(x \operatorname{atan}{\left(\frac{2 \left(1 + \cosh{\left(1 \right)}\right)}{x} \right)} + 2 \log{\left(x \right)} + 2 \log{\left(x \right)} \cosh{\left(1 \right)} + \log{\left(\frac{x^{2} + 4 + 4 \cosh^{2}{\left(1 \right)} + 8 \cosh{\left(1 \right)}}{x^{2}} \right)} + \log{\left(\frac{x^{2} + 4 + 4 \cosh^{2}{\left(1 \right)} + 8 \cosh{\left(1 \right)}}{x^{2}} \right)} \cosh{\left(1 \right)}\right)$

3. Añadimos la constante de integración:

   $\sqrt{1 - 4 \sinh^{2}{\left(1 \right)}} \left(x \operatorname{atan}{\left(\frac{2 \left(1 + \cosh{\left(1 \right)}\right)}{x} \right)} + 2 \log{\left(x \right)} + 2 \log{\left(x \right)} \cosh{\left(1 \right)} + \log{\left(\frac{x^{2} + 4 + 4 \cosh^{2}{\left(1 \right)} + 8 \cosh{\left(1 \right)}}{x^{2}} \right)} + \log{\left(\frac{x^{2} + 4 + 4 \cosh^{2}{\left(1 \right)} + 8 \cosh{\left(1 \right)}}{x^{2}} \right)} \cosh{\left(1 \right)}\right)+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\sqrt{1 - 4 \sinh^{2}{\left(1 \right)}} \left(x \operatorname{atan}{\left(\frac{2 \left(1 + \cosh{\left(1 \right)}\right)}{x} \right)} + 2 \log{\left(x \right)} + 2 \log{\left(x \right)} \cosh{\left(1 \right)} + \log{\left(\frac{x^{2} + 4 + 4 \cosh^{2}{\left(1 \right)} + 8 \cosh{\left(1 \right)}}{x^{2}} \right)} + \log{\left(\frac{x^{2} + 4 + 4 \cosh^{2}{\left(1 \right)} + 8 \cosh{\left(1 \right)}}{x^{2}} \right)} \cosh{\left(1 \right)}\right)+ \mathrm{constant}$