Sr Examen

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Integral de x*ln(x)-x dx

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src]
  1                  
  /                  
 |                   
 |  (x*log(x) - x) dx
 |                   
/                    
0                    
01(xlog(x)x)dx\int\limits_{0}^{1} \left(x \log{\left(x \right)} - x\right)\, dx
Integral(x*log(x) - x, (x, 0, 1))
Solución detallada
  1. Integramos término a término:

    1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

      Método #1

      1. que u=log(x)u = \log{\left(x \right)}.

        Luego que du=dxxdu = \frac{dx}{x} y ponemos dudu:

        ue2udu\int u e^{2 u}\, du

        1. Usamos la integración por partes:

          udv=uvvdu\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

          que u(u)=uu{\left(u \right)} = u y que dv(u)=e2u\operatorname{dv}{\left(u \right)} = e^{2 u}.

          Entonces du(u)=1\operatorname{du}{\left(u \right)} = 1.

          Para buscar v(u)v{\left(u \right)}:

          1. que u=2uu = 2 u.

            Luego que du=2dudu = 2 du y ponemos du2\frac{du}{2}:

            eu2du\int \frac{e^{u}}{2}\, du

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              False\text{False}

              1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                eudu=eu\int e^{u}\, du = e^{u}

              Por lo tanto, el resultado es: eu2\frac{e^{u}}{2}

            Si ahora sustituir uu más en:

            e2u2\frac{e^{2 u}}{2}

          Ahora resolvemos podintegral.

        2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          e2u2du=e2udu2\int \frac{e^{2 u}}{2}\, du = \frac{\int e^{2 u}\, du}{2}

          1. que u=2uu = 2 u.

            Luego que du=2dudu = 2 du y ponemos du2\frac{du}{2}:

            eu2du\int \frac{e^{u}}{2}\, du

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              False\text{False}

              1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                eudu=eu\int e^{u}\, du = e^{u}

              Por lo tanto, el resultado es: eu2\frac{e^{u}}{2}

            Si ahora sustituir uu más en:

            e2u2\frac{e^{2 u}}{2}

          Por lo tanto, el resultado es: e2u4\frac{e^{2 u}}{4}

        Si ahora sustituir uu más en:

        x2log(x)2x24\frac{x^{2} \log{\left(x \right)}}{2} - \frac{x^{2}}{4}

      Método #2

      1. Usamos la integración por partes:

        udv=uvvdu\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

        que u(x)=log(x)u{\left(x \right)} = \log{\left(x \right)} y que dv(x)=x\operatorname{dv}{\left(x \right)} = x.

        Entonces du(x)=1x\operatorname{du}{\left(x \right)} = \frac{1}{x}.

        Para buscar v(x)v{\left(x \right)}:

        1. Integral xnx^{n} es xn+1n+1\frac{x^{n + 1}}{n + 1} when n1n \neq -1:

          xdx=x22\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}

        Ahora resolvemos podintegral.

      2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        x2dx=xdx2\int \frac{x}{2}\, dx = \frac{\int x\, dx}{2}

        1. Integral xnx^{n} es xn+1n+1\frac{x^{n + 1}}{n + 1} when n1n \neq -1:

          xdx=x22\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}

        Por lo tanto, el resultado es: x24\frac{x^{2}}{4}

    1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      (x)dx=xdx\int \left(- x\right)\, dx = - \int x\, dx

      1. Integral xnx^{n} es xn+1n+1\frac{x^{n + 1}}{n + 1} when n1n \neq -1:

        xdx=x22\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}

      Por lo tanto, el resultado es: x22- \frac{x^{2}}{2}

    El resultado es: x2log(x)23x24\frac{x^{2} \log{\left(x \right)}}{2} - \frac{3 x^{2}}{4}

  2. Ahora simplificar:

    x2(2log(x)3)4\frac{x^{2} \left(2 \log{\left(x \right)} - 3\right)}{4}

  3. Añadimos la constante de integración:

    x2(2log(x)3)4+constant\frac{x^{2} \left(2 \log{\left(x \right)} - 3\right)}{4}+ \mathrm{constant}


Respuesta:

x2(2log(x)3)4+constant\frac{x^{2} \left(2 \log{\left(x \right)} - 3\right)}{4}+ \mathrm{constant}

Respuesta (Indefinida) [src]
  /                           2    2       
 |                         3*x    x *log(x)
 | (x*log(x) - x) dx = C - ---- + ---------
 |                          4         2    
/                                          
(xlog(x)x)dx=C+x2log(x)23x24\int \left(x \log{\left(x \right)} - x\right)\, dx = C + \frac{x^{2} \log{\left(x \right)}}{2} - \frac{3 x^{2}}{4}
Gráfica
0.001.000.100.200.300.400.500.600.700.800.901-2
Respuesta [src]
-3/4
34- \frac{3}{4}
=
=
-3/4
34- \frac{3}{4}
-3/4
Respuesta numérica [src]
-0.75
-0.75

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.