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Resolución de integrales/ (2x+5)/ -10x^2/ (2x+5)/(sqrt(5-10x^2))

Integral de (2x+5)/(sqrt(5-10x^2)) dx

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
  1                  
  /                  
 |                   
 |     2*x + 5       
 |  -------------- dx
 |     ___________   
 |    /         2    
 |  \/  5 - 10*x     
 |                   
/                    
0
∫012x+55−10x2 dx\int\limits_{0}^{1} \frac{2 x + 5}{\sqrt{5 - 10 x^{2}}}\, dx 
Integral((2*x + 5)/sqrt(5 - 10*x^2), (x, 0, 1))
Solución detallada

  1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

    Método #1

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      2x+55−10x2=25x+5551−2x2\frac{2 x + 5}{\sqrt{5 - 10 x^{2}}} = \frac{2 \sqrt{5} x + 5 \sqrt{5}}{5 \sqrt{1 - 2 x^{2}}}

    2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      ∫25x+5551−2x2 dx=∫25x+551−2x2 dx5\int \frac{2 \sqrt{5} x + 5 \sqrt{5}}{5 \sqrt{1 - 2 x^{2}}}\, dx = \frac{\int \frac{2 \sqrt{5} x + 5 \sqrt{5}}{\sqrt{1 - 2 x^{2}}}\, dx}{5}

      1. Vuelva a escribir el integrando:

        25x+551−2x2=25x1−2x2+551−2x2\frac{2 \sqrt{5} x + 5 \sqrt{5}}{\sqrt{1 - 2 x^{2}}} = \frac{2 \sqrt{5} x}{\sqrt{1 - 2 x^{2}}} + \frac{5 \sqrt{5}}{\sqrt{1 - 2 x^{2}}}

      2. Integramos término a término:

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫25x1−2x2 dx=25∫x1−2x2 dx\int \frac{2 \sqrt{5} x}{\sqrt{1 - 2 x^{2}}}\, dx = 2 \sqrt{5} \int \frac{x}{\sqrt{1 - 2 x^{2}}}\, dx

          1. que u=1−2x2u = 1 - 2 x^{2}.

            Luego que du=−4xdxdu = - 4 x dx y ponemos −du4- \frac{du}{4}:

            ∫(−14u) du\int \left(- \frac{1}{4 \sqrt{u}}\right)\, du

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              ∫1u du=−∫1u du4\int \frac{1}{\sqrt{u}}\, du = - \frac{\int \frac{1}{\sqrt{u}}\, du}{4}

              1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

                ∫1u du=2u\int \frac{1}{\sqrt{u}}\, du = 2 \sqrt{u}

              Por lo tanto, el resultado es: −u2- \frac{\sqrt{u}}{2}

            Si ahora sustituir uu más en:

            −1−2x22- \frac{\sqrt{1 - 2 x^{2}}}{2}

          Por lo tanto, el resultado es: −51−2x2- \sqrt{5} \sqrt{1 - 2 x^{2}}

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫551−2x2 dx=55∫11−2x2 dx\int \frac{5 \sqrt{5}}{\sqrt{1 - 2 x^{2}}}\, dx = 5 \sqrt{5} \int \frac{1}{\sqrt{1 - 2 x^{2}}}\, dx

          1. que u=2xu = \sqrt{2} x.

            Luego que du=2dxdu = \sqrt{2} dx y ponemos 2du2\frac{\sqrt{2} du}{2}:

            ∫121−u2 du\int \frac{1}{2 \sqrt{1 - u^{2}}}\, du

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              ∫221−u2 du=2∫11−u2 du2\int \frac{\sqrt{2}}{2 \sqrt{1 - u^{2}}}\, du = \frac{\sqrt{2} \int \frac{1}{\sqrt{1 - u^{2}}}\, du}{2}

                ArcsinRule(context=1/sqrt(1 - _u**2), symbol=_u)

              Por lo tanto, el resultado es: 2asin⁡(u)2\frac{\sqrt{2} \operatorname{asin}{\left(u \right)}}{2}

            Si ahora sustituir uu más en:

            2asin⁡(2x)2\frac{\sqrt{2} \operatorname{asin}{\left(\sqrt{2} x \right)}}{2}

          Por lo tanto, el resultado es: 510asin⁡(2x)2\frac{5 \sqrt{10} \operatorname{asin}{\left(\sqrt{2} x \right)}}{2}

        El resultado es: −51−2x2+510asin⁡(2x)2- \sqrt{5} \sqrt{1 - 2 x^{2}} + \frac{5 \sqrt{10} \operatorname{asin}{\left(\sqrt{2} x \right)}}{2}

      Por lo tanto, el resultado es: −51−2x25+10asin⁡(2x)2- \frac{\sqrt{5} \sqrt{1 - 2 x^{2}}}{5} + \frac{\sqrt{10} \operatorname{asin}{\left(\sqrt{2} x \right)}}{2}

    Método #2

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      2x+55−10x2=2x5−10x2+55−10x2\frac{2 x + 5}{\sqrt{5 - 10 x^{2}}} = \frac{2 x}{\sqrt{5 - 10 x^{2}}} + \frac{5}{\sqrt{5 - 10 x^{2}}}

    2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫2x5−10x2 dx=2∫x5−10x2 dx\int \frac{2 x}{\sqrt{5 - 10 x^{2}}}\, dx = 2 \int \frac{x}{\sqrt{5 - 10 x^{2}}}\, dx

        1. que u=5−10x2u = 5 - 10 x^{2}.

          Luego que du=−20xdxdu = - 20 x dx y ponemos −du20- \frac{du}{20}:

          ∫(−120u) du\int \left(- \frac{1}{20 \sqrt{u}}\right)\, du

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫1u du=−∫1u du20\int \frac{1}{\sqrt{u}}\, du = - \frac{\int \frac{1}{\sqrt{u}}\, du}{20}

            1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

              ∫1u du=2u\int \frac{1}{\sqrt{u}}\, du = 2 \sqrt{u}

            Por lo tanto, el resultado es: −u10- \frac{\sqrt{u}}{10}

          Si ahora sustituir uu más en:

          −5−10x210- \frac{\sqrt{5 - 10 x^{2}}}{10}

        Por lo tanto, el resultado es: −5−10x25- \frac{\sqrt{5 - 10 x^{2}}}{5}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫55−10x2 dx=5∫15−10x2 dx\int \frac{5}{\sqrt{5 - 10 x^{2}}}\, dx = 5 \int \frac{1}{\sqrt{5 - 10 x^{2}}}\, dx

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫15−10x2 dx=5∫11−2x2 dx5\int \frac{1}{\sqrt{5 - 10 x^{2}}}\, dx = \frac{\sqrt{5} \int \frac{1}{\sqrt{1 - 2 x^{2}}}\, dx}{5}

          1. que u=2xu = \sqrt{2} x.

            Luego que du=2dxdu = \sqrt{2} dx y ponemos 2du2\frac{\sqrt{2} du}{2}:

            ∫121−u2 du\int \frac{1}{2 \sqrt{1 - u^{2}}}\, du

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              ∫221−u2 du=2∫11−u2 du2\int \frac{\sqrt{2}}{2 \sqrt{1 - u^{2}}}\, du = \frac{\sqrt{2} \int \frac{1}{\sqrt{1 - u^{2}}}\, du}{2}

                ArcsinRule(context=1/sqrt(1 - _u**2), symbol=_u)

              Por lo tanto, el resultado es: 2asin⁡(u)2\frac{\sqrt{2} \operatorname{asin}{\left(u \right)}}{2}

            Si ahora sustituir uu más en:

            2asin⁡(2x)2\frac{\sqrt{2} \operatorname{asin}{\left(\sqrt{2} x \right)}}{2}

          Por lo tanto, el resultado es: 10asin⁡(2x)10\frac{\sqrt{10} \operatorname{asin}{\left(\sqrt{2} x \right)}}{10}

        Por lo tanto, el resultado es: 10asin⁡(2x)2\frac{\sqrt{10} \operatorname{asin}{\left(\sqrt{2} x \right)}}{2}

      El resultado es: −5−10x25+10asin⁡(2x)2- \frac{\sqrt{5 - 10 x^{2}}}{5} + \frac{\sqrt{10} \operatorname{asin}{\left(\sqrt{2} x \right)}}{2}

  2. Ahora simplificar:

    −5−10x25+10asin⁡(2x)2- \frac{\sqrt{5 - 10 x^{2}}}{5} + \frac{\sqrt{10} \operatorname{asin}{\left(\sqrt{2} x \right)}}{2}

  3. Añadimos la constante de integración:

    −5−10x25+10asin⁡(2x)2+constant- \frac{\sqrt{5 - 10 x^{2}}}{5} + \frac{\sqrt{10} \operatorname{asin}{\left(\sqrt{2} x \right)}}{2}+ \mathrm{constant}

Respuesta:

−5−10x25+10asin⁡(2x)2+constant- \frac{\sqrt{5 - 10 x^{2}}}{5} + \frac{\sqrt{10} \operatorname{asin}{\left(\sqrt{2} x \right)}}{2}+ \mathrm{constant}

Respuesta (Indefinida) [src] 
  /                                                        __________
 |                           ____     /    ___\     ___   /        2 
 |    2*x + 5              \/ 10 *asin\x*\/ 2 /   \/ 5 *\/  1 - 2*x  
 | -------------- dx = C + -------------------- - -------------------
 |    ___________                   2                      5         
 |   /         2                                                     
 | \/  5 - 10*x                                                      
 |                                                                   
/
∫2x+55−10x2 dx=C−51−2x25+10asin⁡(2x)2\int \frac{2 x + 5}{\sqrt{5 - 10 x^{2}}}\, dx = C - \frac{\sqrt{5} \sqrt{1 - 2 x^{2}}}{5} + \frac{\sqrt{10} \operatorname{asin}{\left(\sqrt{2} x \right)}}{2}
Simplificar
Gráfica
0.000.050.100.150.200.250.300.350.400.450.500.550.600.650.70500-250
Trazar el gráfico f(x)
Respuesta [src] 
  ___     ____     /  ___\       ___
\/ 5    \/ 10 *asin\\/ 2 /   I*\/ 5 
----- + ------------------ - -------
  5             2               5
55+10asin⁡(2)2−5i5\frac{\sqrt{5}}{5} + \frac{\sqrt{10} \operatorname{asin}{\left(\sqrt{2} \right)}}{2} - \frac{\sqrt{5} i}{5} 
=
= 
  ___     ____     /  ___\       ___
\/ 5    \/ 10 *asin\\/ 2 /   I*\/ 5 
----- + ------------------ - -------
  5             2               5
55+10asin⁡(2)2−5i5\frac{\sqrt{5}}{5} + \frac{\sqrt{10} \operatorname{asin}{\left(\sqrt{2} \right)}}{2} - \frac{\sqrt{5} i}{5} 
sqrt(5)/5 + sqrt(10)*asin(sqrt(2))/2 - i*sqrt(5)/5
Respuesta numérica [src] 
(2.7453375600408 - 1.86361887556103j)
(2.7453375600408 - 1.86361887556103j)

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.

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