Integral de (sqrt(x)-x^(1/5))^2/x^3 dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. que $u = \sqrt{x}$.

      Luego que $du = \frac{dx}{2 \sqrt{x}}$ y ponemos $du$:

      $\int \frac{- 4 u^{\frac{7}{5}} + 2 u^{\frac{4}{5}} + 2 u^{2}}{u^{5}}\, du$

      1. que $u = u^{\frac{4}{5}}$.

         Luego que $du = \frac{4 du}{5 \sqrt[5]{u}}$ y ponemos $\frac{du}{2}$:

         $\int \frac{- 10 u^{\frac{7}{4}} + 5 u^{\frac{5}{2}} + 5 u}{2 u^{6}}\, du$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \frac{- 10 u^{\frac{7}{4}} + 5 u^{\frac{5}{2}} + 5 u}{u^{6}}\, du = \frac{\int \frac{- 10 u^{\frac{7}{4}} + 5 u^{\frac{5}{2}} + 5 u}{u^{6}}\, du}{2}$

            1. Vuelva a escribir el integrando:

               $\frac{- 10 u^{\frac{7}{4}} + 5 u^{\frac{5}{2}} + 5 u}{u^{6}} = \frac{5}{u^{5}} + \frac{5}{u^{\frac{7}{2}}} - \frac{10}{u^{\frac{17}{4}}}$

            2. Integramos término a término:

               1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  $\int \frac{5}{u^{5}}\, du = 5 \int \frac{1}{u^{5}}\, du$

                  1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                     $\int \frac{1}{u^{5}}\, du = - \frac{1}{4 u^{4}}$

                  Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{5}{4 u^{4}}$

               1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  $\int \frac{5}{u^{\frac{7}{2}}}\, du = 5 \int \frac{1}{u^{\frac{7}{2}}}\, du$

                  1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                     $\int \frac{1}{u^{\frac{7}{2}}}\, du = - \frac{2}{5 u^{\frac{5}{2}}}$

                  Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{2}{u^{\frac{5}{2}}}$

               1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  $\int \left(- \frac{10}{u^{\frac{17}{4}}}\right)\, du = - 10 \int \frac{1}{u^{\frac{17}{4}}}\, du$

                  1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                     $\int \frac{1}{u^{\frac{17}{4}}}\, du = - \frac{4}{13 u^{\frac{13}{4}}}$

                  Por lo tanto, el resultado es: $\frac{40}{13 u^{\frac{13}{4}}}$

               El resultado es: $- \frac{5}{4 u^{4}} - \frac{2}{u^{\frac{5}{2}}} + \frac{40}{13 u^{\frac{13}{4}}}$

            Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{5}{8 u^{4}} - \frac{1}{u^{\frac{5}{2}}} + \frac{20}{13 u^{\frac{13}{4}}}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $- \frac{1}{u^{2}} + \frac{20}{13 u^{\frac{13}{5}}} - \frac{5}{8 u^{\frac{16}{5}}}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $- \frac{1}{x} - \frac{5}{8 x^{\frac{8}{5}}} + \frac{20}{13 x^{\frac{13}{10}}}$

   Método #2

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\frac{\left(- \sqrt[5]{x} + \sqrt{x}\right)^{2}}{x^{3}} = \frac{- 2 x^{\frac{7}{10}} + x^{\frac{2}{5}} + x}{x^{3}}$

   2. que $u = x^{\frac{2}{5}}$.

      Luego que $du = \frac{2 dx}{5 x^{\frac{3}{5}}}$ y ponemos $\frac{du}{2}$:

      $\int \frac{- 10 u^{\frac{7}{4}} + 5 u^{\frac{5}{2}} + 5 u}{2 u^{6}}\, du$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{- 10 u^{\frac{7}{4}} + 5 u^{\frac{5}{2}} + 5 u}{u^{6}}\, du = \frac{\int \frac{- 10 u^{\frac{7}{4}} + 5 u^{\frac{5}{2}} + 5 u}{u^{6}}\, du}{2}$

         1. Vuelva a escribir el integrando:

            $\frac{- 10 u^{\frac{7}{4}} + 5 u^{\frac{5}{2}} + 5 u}{u^{6}} = \frac{5}{u^{5}} + \frac{5}{u^{\frac{7}{2}}} - \frac{10}{u^{\frac{17}{4}}}$

         2. Integramos término a término:

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \frac{5}{u^{5}}\, du = 5 \int \frac{1}{u^{5}}\, du$

               1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                  $\int \frac{1}{u^{5}}\, du = - \frac{1}{4 u^{4}}$

               Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{5}{4 u^{4}}$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \frac{5}{u^{\frac{7}{2}}}\, du = 5 \int \frac{1}{u^{\frac{7}{2}}}\, du$

               1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                  $\int \frac{1}{u^{\frac{7}{2}}}\, du = - \frac{2}{5 u^{\frac{5}{2}}}$

               Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{2}{u^{\frac{5}{2}}}$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \left(- \frac{10}{u^{\frac{17}{4}}}\right)\, du = - 10 \int \frac{1}{u^{\frac{17}{4}}}\, du$

               1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                  $\int \frac{1}{u^{\frac{17}{4}}}\, du = - \frac{4}{13 u^{\frac{13}{4}}}$

               Por lo tanto, el resultado es: $\frac{40}{13 u^{\frac{13}{4}}}$

            El resultado es: $- \frac{5}{4 u^{4}} - \frac{2}{u^{\frac{5}{2}}} + \frac{40}{13 u^{\frac{13}{4}}}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{5}{8 u^{4}} - \frac{1}{u^{\frac{5}{2}}} + \frac{20}{13 u^{\frac{13}{4}}}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $- \frac{1}{x} - \frac{5}{8 x^{\frac{8}{5}}} + \frac{20}{13 x^{\frac{13}{10}}}$

   Método #3

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\frac{\left(- \sqrt[5]{x} + \sqrt{x}\right)^{2}}{x^{3}} = \frac{1}{x^{2}} + \frac{1}{x^{\frac{13}{5}}} - \frac{2}{x^{\frac{23}{10}}}$

   2. Integramos término a término:

      1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

         $\int \frac{1}{x^{2}}\, dx = - \frac{1}{x}$

      1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

         $\int \frac{1}{x^{\frac{13}{5}}}\, dx = - \frac{5}{8 x^{\frac{8}{5}}}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- \frac{2}{x^{\frac{23}{10}}}\right)\, dx = - 2 \int \frac{1}{x^{\frac{23}{10}}}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int \frac{1}{x^{\frac{23}{10}}}\, dx = - \frac{10}{13 x^{\frac{13}{10}}}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{20}{13 x^{\frac{13}{10}}}$

      El resultado es: $- \frac{1}{x} - \frac{5}{8 x^{\frac{8}{5}}} + \frac{20}{13 x^{\frac{13}{10}}}$

2. Añadimos la constante de integración:

   $- \frac{1}{x} - \frac{5}{8 x^{\frac{8}{5}}} + \frac{20}{13 x^{\frac{13}{10}}}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$- \frac{1}{x} - \frac{5}{8 x^{\frac{8}{5}}} + \frac{20}{13 x^{\frac{13}{10}}}+ \mathrm{constant}$