Sr Examen

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Integral de 1/sinx dx

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src]
 pi          
 --          
 4           
  /          
 |           
 |    1      
 |  ------ dx
 |  sin(x)   
 |           
/            
0            
$$\int\limits_{0}^{\frac{\pi}{4}} \frac{1}{\sin{\left(x \right)}}\, dx$$
Integral(1/sin(x), (x, 0, pi/4))
Solución detallada
Tenemos el integral:
  /         
 |          
 |   1      
 | ------ dx
 | sin(x)   
 |          
/           
La función subintegral
  1   
------
sin(x)
Multiplicamos numerador y denominador por
sin(x)
obtendremos
  1       sin(x)
------ = -------
sin(x)      2   
         sin (x)
Como
sin(a)^2 + cos(a)^2 = 1
entonces
   2             2   
sin (x) = 1 - cos (x)
cambiamos denominador
 sin(x)      sin(x)  
------- = -----------
   2             2   
sin (x)   1 - cos (x)
hacemos el cambio
u = cos(x)
entonces integral
  /                
 |                 
 |    sin(x)       
 | ----------- dx  
 |        2       =
 | 1 - cos (x)     
 |                 
/                  
  
  /                
 |                 
 |    sin(x)       
 | ----------- dx  
 |        2       =
 | 1 - cos (x)     
 |                 
/                  
  
Como du = -dx*sin(x)
  /         
 |          
 |  -1      
 | ------ du
 |      2   
 | 1 - u    
 |          
/           
Reescribimos la función subintegral
 -1      -1  /  1       1  \
------ = ---*|----- + -----|
     2    2  \1 - u   1 + u/
1 - u                       
entonces
                   /             /          
                  |             |           
                  |   1         |   1       
                  | ----- du    | ----- du  
  /               | 1 + u       | 1 - u     
 |                |             |           
 |  -1           /             /           =
 | ------ du = - ----------- - -----------  
 |      2             2             2       
 | 1 - u                                    
 |                                          
/                                           
  
= log(-1 + u)/2 - log(1 + u)/2
hacemos cambio inverso
u = cos(x)
Respuesta
  /                                                   
 |                                                    
 |   1         log(-1 + cos(x))   log(1 + cos(x))     
 | ------ dx = ---------------- - --------------- + C0
 | sin(x)             2                  2            
 |                                                    
/                                                     
donde C0 es la constante que no depende de x
Respuesta (Indefinida) [src]
  /                                                  
 |                                                   
 |   1             log(-1 + cos(x))   log(1 + cos(x))
 | ------ dx = C + ---------------- - ---------------
 | sin(x)                 2                  2       
 |                                                   
/                                                    
$$\int \frac{1}{\sin{\left(x \right)}}\, dx = C + \frac{\log{\left(\cos{\left(x \right)} - 1 \right)}}{2} - \frac{\log{\left(\cos{\left(x \right)} + 1 \right)}}{2}$$
Gráfica
Respuesta [src]
     pi*I
oo + ----
      2  
$$\infty + \frac{i \pi}{2}$$
=
=
     pi*I
oo + ----
      2  
$$\infty + \frac{i \pi}{2}$$
oo + pi*i/2
Respuesta numérica [src]
44.1437763225327
44.1437763225327

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.