Integral de x(4-x*cos(y)-x*sin(y)) dx

1. Vuelva a escribir el integrando:

   $x \left(- x \sin{\left(y \right)} + \left(- x \cos{\left(y \right)} + 4\right)\right) = - x^{2} \sin{\left(y \right)} - x^{2} \cos{\left(y \right)} + 4 x$

2. Integramos término a término:

   1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int \left(- x^{2} \sin{\left(y \right)}\right)\, dx = - \sin{\left(y \right)} \int x^{2}\, dx$

      1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

         $\int x^{2}\, dx = \frac{x^{3}}{3}$

      Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{x^{3} \sin{\left(y \right)}}{3}$

   1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int \left(- x^{2} \cos{\left(y \right)}\right)\, dx = - \cos{\left(y \right)} \int x^{2}\, dx$

      1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

         $\int x^{2}\, dx = \frac{x^{3}}{3}$

      Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{x^{3} \cos{\left(y \right)}}{3}$

   1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int 4 x\, dx = 4 \int x\, dx$

      1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

         $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$

      Por lo tanto, el resultado es: $2 x^{2}$

   El resultado es: $- \frac{x^{3} \sin{\left(y \right)}}{3} - \frac{x^{3} \cos{\left(y \right)}}{3} + 2 x^{2}$

3. Ahora simplificar:

   $\frac{x^{2} \left(- \sqrt{2} x \sin{\left(y + \frac{\pi}{4} \right)} + 6\right)}{3}$

4. Añadimos la constante de integración:

   $\frac{x^{2} \left(- \sqrt{2} x \sin{\left(y + \frac{\pi}{4} \right)} + 6\right)}{3}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{x^{2} \left(- \sqrt{2} x \sin{\left(y + \frac{\pi}{4} \right)} + 6\right)}{3}+ \mathrm{constant}$