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Resolución de integrales/ (3x-4)cosx/ sin(3x-4)cosx

Integral de sin(3x-4)cosx dx

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
  1                       
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 |  sin(3*x - 4)*cos(x) dx
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0
∫01sin⁡(3x−4)cos⁡(x) dx\int\limits_{0}^{1} \sin{\left(3 x - 4 \right)} \cos{\left(x \right)}\, dx 
Integral(sin(3*x - 4)*cos(x), (x, 0, 1))
Solución detallada

  1. Vuelva a escribir el integrando:

    sin⁡(3x−4)cos⁡(x)=−4sin⁡3(x)cos⁡(x)−32sin⁡3(x)cos⁡4(1)cos⁡(x)+32sin⁡3(x)cos⁡2(1)cos⁡(x)−24sin⁡(x)cos⁡2(1)cos⁡(x)+24sin⁡(x)cos⁡4(1)cos⁡(x)+3sin⁡(x)cos⁡(x)−16sin⁡(1)cos⁡(1)cos⁡4(x)+32sin⁡3(1)cos⁡(1)cos⁡4(x)−24sin⁡3(1)cos⁡(1)cos⁡2(x)+12sin⁡(1)cos⁡(1)cos⁡2(x)\sin{\left(3 x - 4 \right)} \cos{\left(x \right)} = - 4 \sin^{3}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} - 32 \sin^{3}{\left(x \right)} \cos^{4}{\left(1 \right)} \cos{\left(x \right)} + 32 \sin^{3}{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(1 \right)} \cos{\left(x \right)} - 24 \sin{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(1 \right)} \cos{\left(x \right)} + 24 \sin{\left(x \right)} \cos^{4}{\left(1 \right)} \cos{\left(x \right)} + 3 \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} - 16 \sin{\left(1 \right)} \cos{\left(1 \right)} \cos^{4}{\left(x \right)} + 32 \sin^{3}{\left(1 \right)} \cos{\left(1 \right)} \cos^{4}{\left(x \right)} - 24 \sin^{3}{\left(1 \right)} \cos{\left(1 \right)} \cos^{2}{\left(x \right)} + 12 \sin{\left(1 \right)} \cos{\left(1 \right)} \cos^{2}{\left(x \right)}

  2. Integramos término a término:

    1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      ∫(−4sin⁡3(x)cos⁡(x)) dx=−4∫sin⁡3(x)cos⁡(x) dx\int \left(- 4 \sin^{3}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\right)\, dx = - 4 \int \sin^{3}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\, dx

      1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

        Método #1

        1. que u=sin⁡(x)u = \sin{\left(x \right)}.

          Luego que du=cos⁡(x)dxdu = \cos{\left(x \right)} dx y ponemos dudu:

          ∫u3 du\int u^{3}\, du

          1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

            ∫u3 du=u44\int u^{3}\, du = \frac{u^{4}}{4}

          Si ahora sustituir uu más en:

          sin⁡4(x)4\frac{\sin^{4}{\left(x \right)}}{4}

        Método #2

        1. Vuelva a escribir el integrando:

          sin⁡3(x)cos⁡(x)=(1−cos⁡2(x))sin⁡(x)cos⁡(x)\sin^{3}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} = \left(1 - \cos^{2}{\left(x \right)}\right) \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}

        2. que u=−cos⁡2(x)u = - \cos^{2}{\left(x \right)}.

          Luego que du=2sin⁡(x)cos⁡(x)dxdu = 2 \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} dx y ponemos dudu:

          ∫(u2+12) du\int \left(\frac{u}{2} + \frac{1}{2}\right)\, du

          1. Integramos término a término:

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              ∫u2 du=∫u du2\int \frac{u}{2}\, du = \frac{\int u\, du}{2}

              1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

                ∫u du=u22\int u\, du = \frac{u^{2}}{2}

              Por lo tanto, el resultado es: u24\frac{u^{2}}{4}

            1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

              ∫12 du=u2\int \frac{1}{2}\, du = \frac{u}{2}

            El resultado es: u24+u2\frac{u^{2}}{4} + \frac{u}{2}

          Si ahora sustituir uu más en:

          cos⁡4(x)4−cos⁡2(x)2\frac{\cos^{4}{\left(x \right)}}{4} - \frac{\cos^{2}{\left(x \right)}}{2}

      Por lo tanto, el resultado es: −sin⁡4(x)- \sin^{4}{\left(x \right)}

    1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      ∫(−32sin⁡3(x)cos⁡4(1)cos⁡(x)) dx=−32cos⁡4(1)∫sin⁡3(x)cos⁡(x) dx\int \left(- 32 \sin^{3}{\left(x \right)} \cos^{4}{\left(1 \right)} \cos{\left(x \right)}\right)\, dx = - 32 \cos^{4}{\left(1 \right)} \int \sin^{3}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\, dx

      1. que u=sin⁡(x)u = \sin{\left(x \right)}.

        Luego que du=cos⁡(x)dxdu = \cos{\left(x \right)} dx y ponemos dudu:

        ∫u3 du\int u^{3}\, du

        1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

          ∫u3 du=u44\int u^{3}\, du = \frac{u^{4}}{4}

        Si ahora sustituir uu más en:

        sin⁡4(x)4\frac{\sin^{4}{\left(x \right)}}{4}

      Por lo tanto, el resultado es: −8sin⁡4(x)cos⁡4(1)- 8 \sin^{4}{\left(x \right)} \cos^{4}{\left(1 \right)}

    1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      ∫32sin⁡3(x)cos⁡2(1)cos⁡(x) dx=32cos⁡2(1)∫sin⁡3(x)cos⁡(x) dx\int 32 \sin^{3}{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(1 \right)} \cos{\left(x \right)}\, dx = 32 \cos^{2}{\left(1 \right)} \int \sin^{3}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\, dx

      1. que u=sin⁡(x)u = \sin{\left(x \right)}.

        Luego que du=cos⁡(x)dxdu = \cos{\left(x \right)} dx y ponemos dudu:

        ∫u3 du\int u^{3}\, du

        1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

          ∫u3 du=u44\int u^{3}\, du = \frac{u^{4}}{4}

        Si ahora sustituir uu más en:

        sin⁡4(x)4\frac{\sin^{4}{\left(x \right)}}{4}

      Por lo tanto, el resultado es: 8sin⁡4(x)cos⁡2(1)8 \sin^{4}{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(1 \right)}

    1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      ∫(−24sin⁡(x)cos⁡2(1)cos⁡(x)) dx=−24cos⁡2(1)∫sin⁡(x)cos⁡(x) dx\int \left(- 24 \sin{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(1 \right)} \cos{\left(x \right)}\right)\, dx = - 24 \cos^{2}{\left(1 \right)} \int \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\, dx

      1. que u=cos⁡(x)u = \cos{\left(x \right)}.

        Luego que du=−sin⁡(x)dxdu = - \sin{\left(x \right)} dx y ponemos −du- du:

        ∫(−u) du\int \left(- u\right)\, du

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫u du=−∫u du\int u\, du = - \int u\, du

          1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

            ∫u du=u22\int u\, du = \frac{u^{2}}{2}

          Por lo tanto, el resultado es: −u22- \frac{u^{2}}{2}

        Si ahora sustituir uu más en:

        −cos⁡2(x)2- \frac{\cos^{2}{\left(x \right)}}{2}

      Por lo tanto, el resultado es: 12cos⁡2(1)cos⁡2(x)12 \cos^{2}{\left(1 \right)} \cos^{2}{\left(x \right)}

    1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      ∫24sin⁡(x)cos⁡4(1)cos⁡(x) dx=24cos⁡4(1)∫sin⁡(x)cos⁡(x) dx\int 24 \sin{\left(x \right)} \cos^{4}{\left(1 \right)} \cos{\left(x \right)}\, dx = 24 \cos^{4}{\left(1 \right)} \int \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\, dx

      1. que u=cos⁡(x)u = \cos{\left(x \right)}.

        Luego que du=−sin⁡(x)dxdu = - \sin{\left(x \right)} dx y ponemos −du- du:

        ∫(−u) du\int \left(- u\right)\, du

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫u du=−∫u du\int u\, du = - \int u\, du

          1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

            ∫u du=u22\int u\, du = \frac{u^{2}}{2}

          Por lo tanto, el resultado es: −u22- \frac{u^{2}}{2}

        Si ahora sustituir uu más en:

        −cos⁡2(x)2- \frac{\cos^{2}{\left(x \right)}}{2}

      Por lo tanto, el resultado es: −12cos⁡4(1)cos⁡2(x)- 12 \cos^{4}{\left(1 \right)} \cos^{2}{\left(x \right)}

    1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      ∫3sin⁡(x)cos⁡(x) dx=3∫sin⁡(x)cos⁡(x) dx\int 3 \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\, dx = 3 \int \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\, dx

      1. que u=cos⁡(x)u = \cos{\left(x \right)}.

        Luego que du=−sin⁡(x)dxdu = - \sin{\left(x \right)} dx y ponemos −du- du:

        ∫(−u) du\int \left(- u\right)\, du

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫u du=−∫u du\int u\, du = - \int u\, du

          1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

            ∫u du=u22\int u\, du = \frac{u^{2}}{2}

          Por lo tanto, el resultado es: −u22- \frac{u^{2}}{2}

        Si ahora sustituir uu más en:

        −cos⁡2(x)2- \frac{\cos^{2}{\left(x \right)}}{2}

      Por lo tanto, el resultado es: −3cos⁡2(x)2- \frac{3 \cos^{2}{\left(x \right)}}{2}

    1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      ∫(−16sin⁡(1)cos⁡(1)cos⁡4(x)) dx=−16sin⁡(1)cos⁡(1)∫cos⁡4(x) dx\int \left(- 16 \sin{\left(1 \right)} \cos{\left(1 \right)} \cos^{4}{\left(x \right)}\right)\, dx = - 16 \sin{\left(1 \right)} \cos{\left(1 \right)} \int \cos^{4}{\left(x \right)}\, dx

      1. Vuelva a escribir el integrando:

        cos⁡4(x)=(cos⁡(2x)2+12)2\cos^{4}{\left(x \right)} = \left(\frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2} + \frac{1}{2}\right)^{2}

      2. Hay varias maneras de calcular esta integral.

        Método #1

        1. Vuelva a escribir el integrando:

          (cos⁡(2x)2+12)2=cos⁡2(2x)4+cos⁡(2x)2+14\left(\frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2} + \frac{1}{2}\right)^{2} = \frac{\cos^{2}{\left(2 x \right)}}{4} + \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2} + \frac{1}{4}

        2. Integramos término a término:

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫cos⁡2(2x)4 dx=∫cos⁡2(2x) dx4\int \frac{\cos^{2}{\left(2 x \right)}}{4}\, dx = \frac{\int \cos^{2}{\left(2 x \right)}\, dx}{4}

            1. Vuelva a escribir el integrando:

              cos⁡2(2x)=cos⁡(4x)2+12\cos^{2}{\left(2 x \right)} = \frac{\cos{\left(4 x \right)}}{2} + \frac{1}{2}

            2. Integramos término a término:

              1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                ∫cos⁡(4x)2 dx=∫cos⁡(4x) dx2\int \frac{\cos{\left(4 x \right)}}{2}\, dx = \frac{\int \cos{\left(4 x \right)}\, dx}{2}

                1. que u=4xu = 4 x.

                  Luego que du=4dxdu = 4 dx y ponemos du4\frac{du}{4}:

                  ∫cos⁡(u)4 du\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{4}\, du

                  1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                    ∫cos⁡(u) du=∫cos⁡(u) du4\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{4}

                    1. La integral del coseno es seno:

                      ∫cos⁡(u) du=sin⁡(u)\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}

                    Por lo tanto, el resultado es: sin⁡(u)4\frac{\sin{\left(u \right)}}{4}

                  Si ahora sustituir uu más en:

                  sin⁡(4x)4\frac{\sin{\left(4 x \right)}}{4}

                Por lo tanto, el resultado es: sin⁡(4x)8\frac{\sin{\left(4 x \right)}}{8}

              1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

                ∫12 dx=x2\int \frac{1}{2}\, dx = \frac{x}{2}

              El resultado es: x2+sin⁡(4x)8\frac{x}{2} + \frac{\sin{\left(4 x \right)}}{8}

            Por lo tanto, el resultado es: x8+sin⁡(4x)32\frac{x}{8} + \frac{\sin{\left(4 x \right)}}{32}

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫cos⁡(2x)2 dx=∫cos⁡(2x) dx2\int \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2}\, dx = \frac{\int \cos{\left(2 x \right)}\, dx}{2}

            1. que u=2xu = 2 x.

              Luego que du=2dxdu = 2 dx y ponemos du2\frac{du}{2}:

              ∫cos⁡(u)2 du\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{2}\, du

              1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                ∫cos⁡(u) du=∫cos⁡(u) du2\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{2}

                1. La integral del coseno es seno:

                  ∫cos⁡(u) du=sin⁡(u)\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}

                Por lo tanto, el resultado es: sin⁡(u)2\frac{\sin{\left(u \right)}}{2}

              Si ahora sustituir uu más en:

              sin⁡(2x)2\frac{\sin{\left(2 x \right)}}{2}

            Por lo tanto, el resultado es: sin⁡(2x)4\frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4}

          1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

            ∫14 dx=x4\int \frac{1}{4}\, dx = \frac{x}{4}

          El resultado es: 3x8+sin⁡(2x)4+sin⁡(4x)32\frac{3 x}{8} + \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4} + \frac{\sin{\left(4 x \right)}}{32}

        Método #2

        1. Vuelva a escribir el integrando:

          (cos⁡(2x)2+12)2=cos⁡2(2x)4+cos⁡(2x)2+14\left(\frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2} + \frac{1}{2}\right)^{2} = \frac{\cos^{2}{\left(2 x \right)}}{4} + \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2} + \frac{1}{4}

        2. Integramos término a término:

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫cos⁡2(2x)4 dx=∫cos⁡2(2x) dx4\int \frac{\cos^{2}{\left(2 x \right)}}{4}\, dx = \frac{\int \cos^{2}{\left(2 x \right)}\, dx}{4}

            1. Vuelva a escribir el integrando:

              cos⁡2(2x)=cos⁡(4x)2+12\cos^{2}{\left(2 x \right)} = \frac{\cos{\left(4 x \right)}}{2} + \frac{1}{2}

            2. Integramos término a término:

              1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                ∫cos⁡(4x)2 dx=∫cos⁡(4x) dx2\int \frac{\cos{\left(4 x \right)}}{2}\, dx = \frac{\int \cos{\left(4 x \right)}\, dx}{2}

                1. que u=4xu = 4 x.

                  Luego que du=4dxdu = 4 dx y ponemos du4\frac{du}{4}:

                  ∫cos⁡(u)4 du\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{4}\, du

                  1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                    ∫cos⁡(u) du=∫cos⁡(u) du4\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{4}

                    1. La integral del coseno es seno:

                      ∫cos⁡(u) du=sin⁡(u)\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}

                    Por lo tanto, el resultado es: sin⁡(u)4\frac{\sin{\left(u \right)}}{4}

                  Si ahora sustituir uu más en:

                  sin⁡(4x)4\frac{\sin{\left(4 x \right)}}{4}

                Por lo tanto, el resultado es: sin⁡(4x)8\frac{\sin{\left(4 x \right)}}{8}

              1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

                ∫12 dx=x2\int \frac{1}{2}\, dx = \frac{x}{2}

              El resultado es: x2+sin⁡(4x)8\frac{x}{2} + \frac{\sin{\left(4 x \right)}}{8}

            Por lo tanto, el resultado es: x8+sin⁡(4x)32\frac{x}{8} + \frac{\sin{\left(4 x \right)}}{32}

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫cos⁡(2x)2 dx=∫cos⁡(2x) dx2\int \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2}\, dx = \frac{\int \cos{\left(2 x \right)}\, dx}{2}

            1. que u=2xu = 2 x.

              Luego que du=2dxdu = 2 dx y ponemos du2\frac{du}{2}:

              ∫cos⁡(u)2 du\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{2}\, du

              1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                ∫cos⁡(u) du=∫cos⁡(u) du2\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{2}

                1. La integral del coseno es seno:

                  ∫cos⁡(u) du=sin⁡(u)\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}

                Por lo tanto, el resultado es: sin⁡(u)2\frac{\sin{\left(u \right)}}{2}

              Si ahora sustituir uu más en:

              sin⁡(2x)2\frac{\sin{\left(2 x \right)}}{2}

            Por lo tanto, el resultado es: sin⁡(2x)4\frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4}

          1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

            ∫14 dx=x4\int \frac{1}{4}\, dx = \frac{x}{4}

          El resultado es: 3x8+sin⁡(2x)4+sin⁡(4x)32\frac{3 x}{8} + \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4} + \frac{\sin{\left(4 x \right)}}{32}

      Por lo tanto, el resultado es: −16(3x8+sin⁡(2x)4+sin⁡(4x)32)sin⁡(1)cos⁡(1)- 16 \left(\frac{3 x}{8} + \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4} + \frac{\sin{\left(4 x \right)}}{32}\right) \sin{\left(1 \right)} \cos{\left(1 \right)}

    1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      ∫32sin⁡3(1)cos⁡(1)cos⁡4(x) dx=32sin⁡3(1)cos⁡(1)∫cos⁡4(x) dx\int 32 \sin^{3}{\left(1 \right)} \cos{\left(1 \right)} \cos^{4}{\left(x \right)}\, dx = 32 \sin^{3}{\left(1 \right)} \cos{\left(1 \right)} \int \cos^{4}{\left(x \right)}\, dx

      1. Vuelva a escribir el integrando:

        cos⁡4(x)=(cos⁡(2x)2+12)2\cos^{4}{\left(x \right)} = \left(\frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2} + \frac{1}{2}\right)^{2}

      2. Vuelva a escribir el integrando:

        (cos⁡(2x)2+12)2=cos⁡2(2x)4+cos⁡(2x)2+14\left(\frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2} + \frac{1}{2}\right)^{2} = \frac{\cos^{2}{\left(2 x \right)}}{4} + \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2} + \frac{1}{4}

      3. Integramos término a término:

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫cos⁡2(2x)4 dx=∫cos⁡2(2x) dx4\int \frac{\cos^{2}{\left(2 x \right)}}{4}\, dx = \frac{\int \cos^{2}{\left(2 x \right)}\, dx}{4}

          1. Vuelva a escribir el integrando:

            cos⁡2(2x)=cos⁡(4x)2+12\cos^{2}{\left(2 x \right)} = \frac{\cos{\left(4 x \right)}}{2} + \frac{1}{2}

          2. Integramos término a término:

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              ∫cos⁡(4x)2 dx=∫cos⁡(4x) dx2\int \frac{\cos{\left(4 x \right)}}{2}\, dx = \frac{\int \cos{\left(4 x \right)}\, dx}{2}

              1. que u=4xu = 4 x.

                Luego que du=4dxdu = 4 dx y ponemos du4\frac{du}{4}:

                ∫cos⁡(u)4 du\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{4}\, du

                1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  ∫cos⁡(u) du=∫cos⁡(u) du4\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{4}

                  1. La integral del coseno es seno:

                    ∫cos⁡(u) du=sin⁡(u)\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}

                  Por lo tanto, el resultado es: sin⁡(u)4\frac{\sin{\left(u \right)}}{4}

                Si ahora sustituir uu más en:

                sin⁡(4x)4\frac{\sin{\left(4 x \right)}}{4}

              Por lo tanto, el resultado es: sin⁡(4x)8\frac{\sin{\left(4 x \right)}}{8}

            1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

              ∫12 dx=x2\int \frac{1}{2}\, dx = \frac{x}{2}

            El resultado es: x2+sin⁡(4x)8\frac{x}{2} + \frac{\sin{\left(4 x \right)}}{8}

          Por lo tanto, el resultado es: x8+sin⁡(4x)32\frac{x}{8} + \frac{\sin{\left(4 x \right)}}{32}

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫cos⁡(2x)2 dx=∫cos⁡(2x) dx2\int \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2}\, dx = \frac{\int \cos{\left(2 x \right)}\, dx}{2}

          1. que u=2xu = 2 x.

            Luego que du=2dxdu = 2 dx y ponemos du2\frac{du}{2}:

            ∫cos⁡(u)2 du\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{2}\, du

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              ∫cos⁡(u) du=∫cos⁡(u) du2\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{2}

              1. La integral del coseno es seno:

                ∫cos⁡(u) du=sin⁡(u)\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}

              Por lo tanto, el resultado es: sin⁡(u)2\frac{\sin{\left(u \right)}}{2}

            Si ahora sustituir uu más en:

            sin⁡(2x)2\frac{\sin{\left(2 x \right)}}{2}

          Por lo tanto, el resultado es: sin⁡(2x)4\frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4}

        1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

          ∫14 dx=x4\int \frac{1}{4}\, dx = \frac{x}{4}

        El resultado es: 3x8+sin⁡(2x)4+sin⁡(4x)32\frac{3 x}{8} + \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4} + \frac{\sin{\left(4 x \right)}}{32}

      Por lo tanto, el resultado es: 32(3x8+sin⁡(2x)4+sin⁡(4x)32)sin⁡3(1)cos⁡(1)32 \left(\frac{3 x}{8} + \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4} + \frac{\sin{\left(4 x \right)}}{32}\right) \sin^{3}{\left(1 \right)} \cos{\left(1 \right)}

    1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      ∫(−24sin⁡3(1)cos⁡(1)cos⁡2(x)) dx=−24sin⁡3(1)cos⁡(1)∫cos⁡2(x) dx\int \left(- 24 \sin^{3}{\left(1 \right)} \cos{\left(1 \right)} \cos^{2}{\left(x \right)}\right)\, dx = - 24 \sin^{3}{\left(1 \right)} \cos{\left(1 \right)} \int \cos^{2}{\left(x \right)}\, dx

      1. Vuelva a escribir el integrando:

        cos⁡2(x)=cos⁡(2x)2+12\cos^{2}{\left(x \right)} = \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2} + \frac{1}{2}

      2. Integramos término a término:

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫cos⁡(2x)2 dx=∫cos⁡(2x) dx2\int \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2}\, dx = \frac{\int \cos{\left(2 x \right)}\, dx}{2}

          1. que u=2xu = 2 x.

            Luego que du=2dxdu = 2 dx y ponemos du2\frac{du}{2}:

            ∫cos⁡(u)2 du\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{2}\, du

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              ∫cos⁡(u) du=∫cos⁡(u) du2\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{2}

              1. La integral del coseno es seno:

                ∫cos⁡(u) du=sin⁡(u)\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}

              Por lo tanto, el resultado es: sin⁡(u)2\frac{\sin{\left(u \right)}}{2}

            Si ahora sustituir uu más en:

            sin⁡(2x)2\frac{\sin{\left(2 x \right)}}{2}

          Por lo tanto, el resultado es: sin⁡(2x)4\frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4}

        1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

          ∫12 dx=x2\int \frac{1}{2}\, dx = \frac{x}{2}

        El resultado es: x2+sin⁡(2x)4\frac{x}{2} + \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4}

      Por lo tanto, el resultado es: −24(x2+sin⁡(2x)4)sin⁡3(1)cos⁡(1)- 24 \left(\frac{x}{2} + \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4}\right) \sin^{3}{\left(1 \right)} \cos{\left(1 \right)}

    1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      ∫12sin⁡(1)cos⁡(1)cos⁡2(x) dx=12sin⁡(1)cos⁡(1)∫cos⁡2(x) dx\int 12 \sin{\left(1 \right)} \cos{\left(1 \right)} \cos^{2}{\left(x \right)}\, dx = 12 \sin{\left(1 \right)} \cos{\left(1 \right)} \int \cos^{2}{\left(x \right)}\, dx

      1. Vuelva a escribir el integrando:

        cos⁡2(x)=cos⁡(2x)2+12\cos^{2}{\left(x \right)} = \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2} + \frac{1}{2}

      2. Integramos término a término:

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫cos⁡(2x)2 dx=∫cos⁡(2x) dx2\int \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2}\, dx = \frac{\int \cos{\left(2 x \right)}\, dx}{2}

          1. que u=2xu = 2 x.

            Luego que du=2dxdu = 2 dx y ponemos du2\frac{du}{2}:

            ∫cos⁡(u)2 du\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{2}\, du

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              ∫cos⁡(u) du=∫cos⁡(u) du2\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{2}

              1. La integral del coseno es seno:

                ∫cos⁡(u) du=sin⁡(u)\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}

              Por lo tanto, el resultado es: sin⁡(u)2\frac{\sin{\left(u \right)}}{2}

            Si ahora sustituir uu más en:

            sin⁡(2x)2\frac{\sin{\left(2 x \right)}}{2}

          Por lo tanto, el resultado es: sin⁡(2x)4\frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4}

        1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

          ∫12 dx=x2\int \frac{1}{2}\, dx = \frac{x}{2}

        El resultado es: x2+sin⁡(2x)4\frac{x}{2} + \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4}

      Por lo tanto, el resultado es: 12(x2+sin⁡(2x)4)sin⁡(1)cos⁡(1)12 \left(\frac{x}{2} + \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4}\right) \sin{\left(1 \right)} \cos{\left(1 \right)}

    El resultado es: −24(x2+sin⁡(2x)4)sin⁡3(1)cos⁡(1)+12(x2+sin⁡(2x)4)sin⁡(1)cos⁡(1)−16(3x8+sin⁡(2x)4+sin⁡(4x)32)sin⁡(1)cos⁡(1)+32(3x8+sin⁡(2x)4+sin⁡(4x)32)sin⁡3(1)cos⁡(1)−sin⁡4(x)−8sin⁡4(x)cos⁡4(1)+8sin⁡4(x)cos⁡2(1)−3cos⁡2(x)2−12cos⁡4(1)cos⁡2(x)+12cos⁡2(1)cos⁡2(x)- 24 \left(\frac{x}{2} + \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4}\right) \sin^{3}{\left(1 \right)} \cos{\left(1 \right)} + 12 \left(\frac{x}{2} + \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4}\right) \sin{\left(1 \right)} \cos{\left(1 \right)} - 16 \left(\frac{3 x}{8} + \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4} + \frac{\sin{\left(4 x \right)}}{32}\right) \sin{\left(1 \right)} \cos{\left(1 \right)} + 32 \left(\frac{3 x}{8} + \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4} + \frac{\sin{\left(4 x \right)}}{32}\right) \sin^{3}{\left(1 \right)} \cos{\left(1 \right)} - \sin^{4}{\left(x \right)} - 8 \sin^{4}{\left(x \right)} \cos^{4}{\left(1 \right)} + 8 \sin^{4}{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(1 \right)} - \frac{3 \cos^{2}{\left(x \right)}}{2} - 12 \cos^{4}{\left(1 \right)} \cos^{2}{\left(x \right)} + 12 \cos^{2}{\left(1 \right)} \cos^{2}{\left(x \right)}

  3. Ahora simplificar:

    −cos⁡(2x−4)4−cos⁡(4x−4)8−9cos⁡(4)8- \frac{\cos{\left(2 x - 4 \right)}}{4} - \frac{\cos{\left(4 x - 4 \right)}}{8} - \frac{9 \cos{\left(4 \right)}}{8}

  4. Añadimos la constante de integración:

    −cos⁡(2x−4)4−cos⁡(4x−4)8−9cos⁡(4)8+constant- \frac{\cos{\left(2 x - 4 \right)}}{4} - \frac{\cos{\left(4 x - 4 \right)}}{8} - \frac{9 \cos{\left(4 \right)}}{8}+ \mathrm{constant}

Respuesta:

−cos⁡(2x−4)4−cos⁡(4x−4)8−9cos⁡(4)8+constant- \frac{\cos{\left(2 x - 4 \right)}}{4} - \frac{\cos{\left(4 x - 4 \right)}}{8} - \frac{9 \cos{\left(4 \right)}}{8}+ \mathrm{constant}

Respuesta (Indefinida) [src] 
  /                                            2                                                                                                                                                                                                                                                         
 |                                 4      3*cos (x)         4       2           4       4           2       4            2       2            3    /x   sin(2*x)\             /sin(2*x)   sin(4*x)   3*x\                    /x   sin(2*x)\                       3    /sin(2*x)   sin(4*x)   3*x\       
 | sin(3*x - 4)*cos(x) dx = C - sin (x) - --------- - 12*cos (1)*cos (x) - 8*cos (1)*sin (x) + 8*cos (1)*sin (x) + 12*cos (1)*cos (x) - 24*sin (1)*|- + --------|*cos(1) - 16*|-------- + -------- + ---|*cos(1)*sin(1) + 12*|- + --------|*cos(1)*sin(1) + 32*sin (1)*|-------- + -------- + ---|*cos(1)
 |                                            2                                                                                                    \2      4    /             \   4          32       8 /                    \2      4    /                            \   4          32       8 /       
/
∫sin⁡(3x−4)cos⁡(x) dx=C−24(x2+sin⁡(2x)4)sin⁡3(1)cos⁡(1)+12(x2+sin⁡(2x)4)sin⁡(1)cos⁡(1)−16(3x8+sin⁡(2x)4+sin⁡(4x)32)sin⁡(1)cos⁡(1)+32(3x8+sin⁡(2x)4+sin⁡(4x)32)sin⁡3(1)cos⁡(1)−sin⁡4(x)−8sin⁡4(x)cos⁡4(1)+8sin⁡4(x)cos⁡2(1)−3cos⁡2(x)2−12cos⁡4(1)cos⁡2(x)+12cos⁡2(1)cos⁡2(x)\int \sin{\left(3 x - 4 \right)} \cos{\left(x \right)}\, dx = C - 24 \left(\frac{x}{2} + \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4}\right) \sin^{3}{\left(1 \right)} \cos{\left(1 \right)} + 12 \left(\frac{x}{2} + \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4}\right) \sin{\left(1 \right)} \cos{\left(1 \right)} - 16 \left(\frac{3 x}{8} + \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4} + \frac{\sin{\left(4 x \right)}}{32}\right) \sin{\left(1 \right)} \cos{\left(1 \right)} + 32 \left(\frac{3 x}{8} + \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4} + \frac{\sin{\left(4 x \right)}}{32}\right) \sin^{3}{\left(1 \right)} \cos{\left(1 \right)} - \sin^{4}{\left(x \right)} - 8 \sin^{4}{\left(x \right)} \cos^{4}{\left(1 \right)} + 8 \sin^{4}{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(1 \right)} - \frac{3 \cos^{2}{\left(x \right)}}{2} - 12 \cos^{4}{\left(1 \right)} \cos^{2}{\left(x \right)} + 12 \cos^{2}{\left(1 \right)} \cos^{2}{\left(x \right)}
Simplificar
Gráfica
0.001.000.100.200.300.400.500.600.700.800.902-2
Trazar el gráfico f(x)
Respuesta [src] 
       2         2              
  3*cos (1)   sin (1)   3*cos(4)
- --------- + ------- + --------
      8          8         8
3cos⁡(4)8−3cos⁡2(1)8+sin⁡2(1)8\frac{3 \cos{\left(4 \right)}}{8} - \frac{3 \cos^{2}{\left(1 \right)}}{8} + \frac{\sin^{2}{\left(1 \right)}}{8} 
=
= 
       2         2              
  3*cos (1)   sin (1)   3*cos(4)
- --------- + ------- + --------
      8          8         8
3cos⁡(4)8−3cos⁡2(1)8+sin⁡2(1)8\frac{3 \cos{\left(4 \right)}}{8} - \frac{3 \cos^{2}{\left(1 \right)}}{8} + \frac{\sin^{2}{\left(1 \right)}}{8} 
-3*cos(1)^2/8 + sin(1)^2/8 + 3*cos(4)/8
Respuesta numérica [src] 
-0.266079648687069
-0.266079648687069

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.

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