Sr Examen

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Integral de sin(3x-4)cosx dx

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src]
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 |  sin(3*x - 4)*cos(x) dx
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0                         
01sin(3x4)cos(x)dx\int\limits_{0}^{1} \sin{\left(3 x - 4 \right)} \cos{\left(x \right)}\, dx
Integral(sin(3*x - 4)*cos(x), (x, 0, 1))
Solución detallada
  1. Vuelva a escribir el integrando:

    sin(3x4)cos(x)=4sin3(x)cos(x)32sin3(x)cos4(1)cos(x)+32sin3(x)cos2(1)cos(x)24sin(x)cos2(1)cos(x)+24sin(x)cos4(1)cos(x)+3sin(x)cos(x)16sin(1)cos(1)cos4(x)+32sin3(1)cos(1)cos4(x)24sin3(1)cos(1)cos2(x)+12sin(1)cos(1)cos2(x)\sin{\left(3 x - 4 \right)} \cos{\left(x \right)} = - 4 \sin^{3}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} - 32 \sin^{3}{\left(x \right)} \cos^{4}{\left(1 \right)} \cos{\left(x \right)} + 32 \sin^{3}{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(1 \right)} \cos{\left(x \right)} - 24 \sin{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(1 \right)} \cos{\left(x \right)} + 24 \sin{\left(x \right)} \cos^{4}{\left(1 \right)} \cos{\left(x \right)} + 3 \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} - 16 \sin{\left(1 \right)} \cos{\left(1 \right)} \cos^{4}{\left(x \right)} + 32 \sin^{3}{\left(1 \right)} \cos{\left(1 \right)} \cos^{4}{\left(x \right)} - 24 \sin^{3}{\left(1 \right)} \cos{\left(1 \right)} \cos^{2}{\left(x \right)} + 12 \sin{\left(1 \right)} \cos{\left(1 \right)} \cos^{2}{\left(x \right)}

  2. Integramos término a término:

    1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      (4sin3(x)cos(x))dx=4sin3(x)cos(x)dx\int \left(- 4 \sin^{3}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\right)\, dx = - 4 \int \sin^{3}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\, dx

      1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

        Método #1

        1. que u=sin(x)u = \sin{\left(x \right)}.

          Luego que du=cos(x)dxdu = \cos{\left(x \right)} dx y ponemos dudu:

          u3du\int u^{3}\, du

          1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n1n \neq -1:

            u3du=u44\int u^{3}\, du = \frac{u^{4}}{4}

          Si ahora sustituir uu más en:

          sin4(x)4\frac{\sin^{4}{\left(x \right)}}{4}

        Método #2

        1. Vuelva a escribir el integrando:

          sin3(x)cos(x)=(1cos2(x))sin(x)cos(x)\sin^{3}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} = \left(1 - \cos^{2}{\left(x \right)}\right) \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}

        2. que u=cos2(x)u = - \cos^{2}{\left(x \right)}.

          Luego que du=2sin(x)cos(x)dxdu = 2 \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} dx y ponemos dudu:

          (u2+12)du\int \left(\frac{u}{2} + \frac{1}{2}\right)\, du

          1. Integramos término a término:

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              u2du=udu2\int \frac{u}{2}\, du = \frac{\int u\, du}{2}

              1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n1n \neq -1:

                udu=u22\int u\, du = \frac{u^{2}}{2}

              Por lo tanto, el resultado es: u24\frac{u^{2}}{4}

            1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

              12du=u2\int \frac{1}{2}\, du = \frac{u}{2}

            El resultado es: u24+u2\frac{u^{2}}{4} + \frac{u}{2}

          Si ahora sustituir uu más en:

          cos4(x)4cos2(x)2\frac{\cos^{4}{\left(x \right)}}{4} - \frac{\cos^{2}{\left(x \right)}}{2}

      Por lo tanto, el resultado es: sin4(x)- \sin^{4}{\left(x \right)}

    1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      (32sin3(x)cos4(1)cos(x))dx=32cos4(1)sin3(x)cos(x)dx\int \left(- 32 \sin^{3}{\left(x \right)} \cos^{4}{\left(1 \right)} \cos{\left(x \right)}\right)\, dx = - 32 \cos^{4}{\left(1 \right)} \int \sin^{3}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\, dx

      1. que u=sin(x)u = \sin{\left(x \right)}.

        Luego que du=cos(x)dxdu = \cos{\left(x \right)} dx y ponemos dudu:

        u3du\int u^{3}\, du

        1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n1n \neq -1:

          u3du=u44\int u^{3}\, du = \frac{u^{4}}{4}

        Si ahora sustituir uu más en:

        sin4(x)4\frac{\sin^{4}{\left(x \right)}}{4}

      Por lo tanto, el resultado es: 8sin4(x)cos4(1)- 8 \sin^{4}{\left(x \right)} \cos^{4}{\left(1 \right)}

    1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      32sin3(x)cos2(1)cos(x)dx=32cos2(1)sin3(x)cos(x)dx\int 32 \sin^{3}{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(1 \right)} \cos{\left(x \right)}\, dx = 32 \cos^{2}{\left(1 \right)} \int \sin^{3}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\, dx

      1. que u=sin(x)u = \sin{\left(x \right)}.

        Luego que du=cos(x)dxdu = \cos{\left(x \right)} dx y ponemos dudu:

        u3du\int u^{3}\, du

        1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n1n \neq -1:

          u3du=u44\int u^{3}\, du = \frac{u^{4}}{4}

        Si ahora sustituir uu más en:

        sin4(x)4\frac{\sin^{4}{\left(x \right)}}{4}

      Por lo tanto, el resultado es: 8sin4(x)cos2(1)8 \sin^{4}{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(1 \right)}

    1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      (24sin(x)cos2(1)cos(x))dx=24cos2(1)sin(x)cos(x)dx\int \left(- 24 \sin{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(1 \right)} \cos{\left(x \right)}\right)\, dx = - 24 \cos^{2}{\left(1 \right)} \int \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\, dx

      1. que u=cos(x)u = \cos{\left(x \right)}.

        Luego que du=sin(x)dxdu = - \sin{\left(x \right)} dx y ponemos du- du:

        (u)du\int \left(- u\right)\, du

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          udu=udu\int u\, du = - \int u\, du

          1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n1n \neq -1:

            udu=u22\int u\, du = \frac{u^{2}}{2}

          Por lo tanto, el resultado es: u22- \frac{u^{2}}{2}

        Si ahora sustituir uu más en:

        cos2(x)2- \frac{\cos^{2}{\left(x \right)}}{2}

      Por lo tanto, el resultado es: 12cos2(1)cos2(x)12 \cos^{2}{\left(1 \right)} \cos^{2}{\left(x \right)}

    1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      24sin(x)cos4(1)cos(x)dx=24cos4(1)sin(x)cos(x)dx\int 24 \sin{\left(x \right)} \cos^{4}{\left(1 \right)} \cos{\left(x \right)}\, dx = 24 \cos^{4}{\left(1 \right)} \int \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\, dx

      1. que u=cos(x)u = \cos{\left(x \right)}.

        Luego que du=sin(x)dxdu = - \sin{\left(x \right)} dx y ponemos du- du:

        (u)du\int \left(- u\right)\, du

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          udu=udu\int u\, du = - \int u\, du

          1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n1n \neq -1:

            udu=u22\int u\, du = \frac{u^{2}}{2}

          Por lo tanto, el resultado es: u22- \frac{u^{2}}{2}

        Si ahora sustituir uu más en:

        cos2(x)2- \frac{\cos^{2}{\left(x \right)}}{2}

      Por lo tanto, el resultado es: 12cos4(1)cos2(x)- 12 \cos^{4}{\left(1 \right)} \cos^{2}{\left(x \right)}

    1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      3sin(x)cos(x)dx=3sin(x)cos(x)dx\int 3 \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\, dx = 3 \int \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\, dx

      1. que u=cos(x)u = \cos{\left(x \right)}.

        Luego que du=sin(x)dxdu = - \sin{\left(x \right)} dx y ponemos du- du:

        (u)du\int \left(- u\right)\, du

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          udu=udu\int u\, du = - \int u\, du

          1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n1n \neq -1:

            udu=u22\int u\, du = \frac{u^{2}}{2}

          Por lo tanto, el resultado es: u22- \frac{u^{2}}{2}

        Si ahora sustituir uu más en:

        cos2(x)2- \frac{\cos^{2}{\left(x \right)}}{2}

      Por lo tanto, el resultado es: 3cos2(x)2- \frac{3 \cos^{2}{\left(x \right)}}{2}

    1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      (16sin(1)cos(1)cos4(x))dx=16sin(1)cos(1)cos4(x)dx\int \left(- 16 \sin{\left(1 \right)} \cos{\left(1 \right)} \cos^{4}{\left(x \right)}\right)\, dx = - 16 \sin{\left(1 \right)} \cos{\left(1 \right)} \int \cos^{4}{\left(x \right)}\, dx

      1. Vuelva a escribir el integrando:

        cos4(x)=(cos(2x)2+12)2\cos^{4}{\left(x \right)} = \left(\frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2} + \frac{1}{2}\right)^{2}

      2. Hay varias maneras de calcular esta integral.

        Método #1

        1. Vuelva a escribir el integrando:

          (cos(2x)2+12)2=cos2(2x)4+cos(2x)2+14\left(\frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2} + \frac{1}{2}\right)^{2} = \frac{\cos^{2}{\left(2 x \right)}}{4} + \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2} + \frac{1}{4}

        2. Integramos término a término:

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            cos2(2x)4dx=cos2(2x)dx4\int \frac{\cos^{2}{\left(2 x \right)}}{4}\, dx = \frac{\int \cos^{2}{\left(2 x \right)}\, dx}{4}

            1. Vuelva a escribir el integrando:

              cos2(2x)=cos(4x)2+12\cos^{2}{\left(2 x \right)} = \frac{\cos{\left(4 x \right)}}{2} + \frac{1}{2}

            2. Integramos término a término:

              1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                cos(4x)2dx=cos(4x)dx2\int \frac{\cos{\left(4 x \right)}}{2}\, dx = \frac{\int \cos{\left(4 x \right)}\, dx}{2}

                1. que u=4xu = 4 x.

                  Luego que du=4dxdu = 4 dx y ponemos du4\frac{du}{4}:

                  cos(u)4du\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{4}\, du

                  1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                    cos(u)du=cos(u)du4\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{4}

                    1. La integral del coseno es seno:

                      cos(u)du=sin(u)\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}

                    Por lo tanto, el resultado es: sin(u)4\frac{\sin{\left(u \right)}}{4}

                  Si ahora sustituir uu más en:

                  sin(4x)4\frac{\sin{\left(4 x \right)}}{4}

                Por lo tanto, el resultado es: sin(4x)8\frac{\sin{\left(4 x \right)}}{8}

              1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

                12dx=x2\int \frac{1}{2}\, dx = \frac{x}{2}

              El resultado es: x2+sin(4x)8\frac{x}{2} + \frac{\sin{\left(4 x \right)}}{8}

            Por lo tanto, el resultado es: x8+sin(4x)32\frac{x}{8} + \frac{\sin{\left(4 x \right)}}{32}

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            cos(2x)2dx=cos(2x)dx2\int \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2}\, dx = \frac{\int \cos{\left(2 x \right)}\, dx}{2}

            1. que u=2xu = 2 x.

              Luego que du=2dxdu = 2 dx y ponemos du2\frac{du}{2}:

              cos(u)2du\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{2}\, du

              1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                cos(u)du=cos(u)du2\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{2}

                1. La integral del coseno es seno:

                  cos(u)du=sin(u)\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}

                Por lo tanto, el resultado es: sin(u)2\frac{\sin{\left(u \right)}}{2}

              Si ahora sustituir uu más en:

              sin(2x)2\frac{\sin{\left(2 x \right)}}{2}

            Por lo tanto, el resultado es: sin(2x)4\frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4}

          1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

            14dx=x4\int \frac{1}{4}\, dx = \frac{x}{4}

          El resultado es: 3x8+sin(2x)4+sin(4x)32\frac{3 x}{8} + \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4} + \frac{\sin{\left(4 x \right)}}{32}

        Método #2

        1. Vuelva a escribir el integrando:

          (cos(2x)2+12)2=cos2(2x)4+cos(2x)2+14\left(\frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2} + \frac{1}{2}\right)^{2} = \frac{\cos^{2}{\left(2 x \right)}}{4} + \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2} + \frac{1}{4}

        2. Integramos término a término:

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            cos2(2x)4dx=cos2(2x)dx4\int \frac{\cos^{2}{\left(2 x \right)}}{4}\, dx = \frac{\int \cos^{2}{\left(2 x \right)}\, dx}{4}

            1. Vuelva a escribir el integrando:

              cos2(2x)=cos(4x)2+12\cos^{2}{\left(2 x \right)} = \frac{\cos{\left(4 x \right)}}{2} + \frac{1}{2}

            2. Integramos término a término:

              1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                cos(4x)2dx=cos(4x)dx2\int \frac{\cos{\left(4 x \right)}}{2}\, dx = \frac{\int \cos{\left(4 x \right)}\, dx}{2}

                1. que u=4xu = 4 x.

                  Luego que du=4dxdu = 4 dx y ponemos du4\frac{du}{4}:

                  cos(u)4du\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{4}\, du

                  1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                    cos(u)du=cos(u)du4\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{4}

                    1. La integral del coseno es seno:

                      cos(u)du=sin(u)\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}

                    Por lo tanto, el resultado es: sin(u)4\frac{\sin{\left(u \right)}}{4}

                  Si ahora sustituir uu más en:

                  sin(4x)4\frac{\sin{\left(4 x \right)}}{4}

                Por lo tanto, el resultado es: sin(4x)8\frac{\sin{\left(4 x \right)}}{8}

              1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

                12dx=x2\int \frac{1}{2}\, dx = \frac{x}{2}

              El resultado es: x2+sin(4x)8\frac{x}{2} + \frac{\sin{\left(4 x \right)}}{8}

            Por lo tanto, el resultado es: x8+sin(4x)32\frac{x}{8} + \frac{\sin{\left(4 x \right)}}{32}

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            cos(2x)2dx=cos(2x)dx2\int \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2}\, dx = \frac{\int \cos{\left(2 x \right)}\, dx}{2}

            1. que u=2xu = 2 x.

              Luego que du=2dxdu = 2 dx y ponemos du2\frac{du}{2}:

              cos(u)2du\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{2}\, du

              1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                cos(u)du=cos(u)du2\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{2}

                1. La integral del coseno es seno:

                  cos(u)du=sin(u)\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}

                Por lo tanto, el resultado es: sin(u)2\frac{\sin{\left(u \right)}}{2}

              Si ahora sustituir uu más en:

              sin(2x)2\frac{\sin{\left(2 x \right)}}{2}

            Por lo tanto, el resultado es: sin(2x)4\frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4}

          1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

            14dx=x4\int \frac{1}{4}\, dx = \frac{x}{4}

          El resultado es: 3x8+sin(2x)4+sin(4x)32\frac{3 x}{8} + \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4} + \frac{\sin{\left(4 x \right)}}{32}

      Por lo tanto, el resultado es: 16(3x8+sin(2x)4+sin(4x)32)sin(1)cos(1)- 16 \left(\frac{3 x}{8} + \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4} + \frac{\sin{\left(4 x \right)}}{32}\right) \sin{\left(1 \right)} \cos{\left(1 \right)}

    1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      32sin3(1)cos(1)cos4(x)dx=32sin3(1)cos(1)cos4(x)dx\int 32 \sin^{3}{\left(1 \right)} \cos{\left(1 \right)} \cos^{4}{\left(x \right)}\, dx = 32 \sin^{3}{\left(1 \right)} \cos{\left(1 \right)} \int \cos^{4}{\left(x \right)}\, dx

      1. Vuelva a escribir el integrando:

        cos4(x)=(cos(2x)2+12)2\cos^{4}{\left(x \right)} = \left(\frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2} + \frac{1}{2}\right)^{2}

      2. Vuelva a escribir el integrando:

        (cos(2x)2+12)2=cos2(2x)4+cos(2x)2+14\left(\frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2} + \frac{1}{2}\right)^{2} = \frac{\cos^{2}{\left(2 x \right)}}{4} + \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2} + \frac{1}{4}

      3. Integramos término a término:

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          cos2(2x)4dx=cos2(2x)dx4\int \frac{\cos^{2}{\left(2 x \right)}}{4}\, dx = \frac{\int \cos^{2}{\left(2 x \right)}\, dx}{4}

          1. Vuelva a escribir el integrando:

            cos2(2x)=cos(4x)2+12\cos^{2}{\left(2 x \right)} = \frac{\cos{\left(4 x \right)}}{2} + \frac{1}{2}

          2. Integramos término a término:

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              cos(4x)2dx=cos(4x)dx2\int \frac{\cos{\left(4 x \right)}}{2}\, dx = \frac{\int \cos{\left(4 x \right)}\, dx}{2}

              1. que u=4xu = 4 x.

                Luego que du=4dxdu = 4 dx y ponemos du4\frac{du}{4}:

                cos(u)4du\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{4}\, du

                1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  cos(u)du=cos(u)du4\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{4}

                  1. La integral del coseno es seno:

                    cos(u)du=sin(u)\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}

                  Por lo tanto, el resultado es: sin(u)4\frac{\sin{\left(u \right)}}{4}

                Si ahora sustituir uu más en:

                sin(4x)4\frac{\sin{\left(4 x \right)}}{4}

              Por lo tanto, el resultado es: sin(4x)8\frac{\sin{\left(4 x \right)}}{8}

            1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

              12dx=x2\int \frac{1}{2}\, dx = \frac{x}{2}

            El resultado es: x2+sin(4x)8\frac{x}{2} + \frac{\sin{\left(4 x \right)}}{8}

          Por lo tanto, el resultado es: x8+sin(4x)32\frac{x}{8} + \frac{\sin{\left(4 x \right)}}{32}

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          cos(2x)2dx=cos(2x)dx2\int \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2}\, dx = \frac{\int \cos{\left(2 x \right)}\, dx}{2}

          1. que u=2xu = 2 x.

            Luego que du=2dxdu = 2 dx y ponemos du2\frac{du}{2}:

            cos(u)2du\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{2}\, du

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              cos(u)du=cos(u)du2\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{2}

              1. La integral del coseno es seno:

                cos(u)du=sin(u)\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}

              Por lo tanto, el resultado es: sin(u)2\frac{\sin{\left(u \right)}}{2}

            Si ahora sustituir uu más en:

            sin(2x)2\frac{\sin{\left(2 x \right)}}{2}

          Por lo tanto, el resultado es: sin(2x)4\frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4}

        1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

          14dx=x4\int \frac{1}{4}\, dx = \frac{x}{4}

        El resultado es: 3x8+sin(2x)4+sin(4x)32\frac{3 x}{8} + \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4} + \frac{\sin{\left(4 x \right)}}{32}

      Por lo tanto, el resultado es: 32(3x8+sin(2x)4+sin(4x)32)sin3(1)cos(1)32 \left(\frac{3 x}{8} + \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4} + \frac{\sin{\left(4 x \right)}}{32}\right) \sin^{3}{\left(1 \right)} \cos{\left(1 \right)}

    1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      (24sin3(1)cos(1)cos2(x))dx=24sin3(1)cos(1)cos2(x)dx\int \left(- 24 \sin^{3}{\left(1 \right)} \cos{\left(1 \right)} \cos^{2}{\left(x \right)}\right)\, dx = - 24 \sin^{3}{\left(1 \right)} \cos{\left(1 \right)} \int \cos^{2}{\left(x \right)}\, dx

      1. Vuelva a escribir el integrando:

        cos2(x)=cos(2x)2+12\cos^{2}{\left(x \right)} = \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2} + \frac{1}{2}

      2. Integramos término a término:

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          cos(2x)2dx=cos(2x)dx2\int \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2}\, dx = \frac{\int \cos{\left(2 x \right)}\, dx}{2}

          1. que u=2xu = 2 x.

            Luego que du=2dxdu = 2 dx y ponemos du2\frac{du}{2}:

            cos(u)2du\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{2}\, du

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              cos(u)du=cos(u)du2\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{2}

              1. La integral del coseno es seno:

                cos(u)du=sin(u)\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}

              Por lo tanto, el resultado es: sin(u)2\frac{\sin{\left(u \right)}}{2}

            Si ahora sustituir uu más en:

            sin(2x)2\frac{\sin{\left(2 x \right)}}{2}

          Por lo tanto, el resultado es: sin(2x)4\frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4}

        1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

          12dx=x2\int \frac{1}{2}\, dx = \frac{x}{2}

        El resultado es: x2+sin(2x)4\frac{x}{2} + \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4}

      Por lo tanto, el resultado es: 24(x2+sin(2x)4)sin3(1)cos(1)- 24 \left(\frac{x}{2} + \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4}\right) \sin^{3}{\left(1 \right)} \cos{\left(1 \right)}

    1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      12sin(1)cos(1)cos2(x)dx=12sin(1)cos(1)cos2(x)dx\int 12 \sin{\left(1 \right)} \cos{\left(1 \right)} \cos^{2}{\left(x \right)}\, dx = 12 \sin{\left(1 \right)} \cos{\left(1 \right)} \int \cos^{2}{\left(x \right)}\, dx

      1. Vuelva a escribir el integrando:

        cos2(x)=cos(2x)2+12\cos^{2}{\left(x \right)} = \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2} + \frac{1}{2}

      2. Integramos término a término:

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          cos(2x)2dx=cos(2x)dx2\int \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2}\, dx = \frac{\int \cos{\left(2 x \right)}\, dx}{2}

          1. que u=2xu = 2 x.

            Luego que du=2dxdu = 2 dx y ponemos du2\frac{du}{2}:

            cos(u)2du\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{2}\, du

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              cos(u)du=cos(u)du2\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{2}

              1. La integral del coseno es seno:

                cos(u)du=sin(u)\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}

              Por lo tanto, el resultado es: sin(u)2\frac{\sin{\left(u \right)}}{2}

            Si ahora sustituir uu más en:

            sin(2x)2\frac{\sin{\left(2 x \right)}}{2}

          Por lo tanto, el resultado es: sin(2x)4\frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4}

        1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

          12dx=x2\int \frac{1}{2}\, dx = \frac{x}{2}

        El resultado es: x2+sin(2x)4\frac{x}{2} + \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4}

      Por lo tanto, el resultado es: 12(x2+sin(2x)4)sin(1)cos(1)12 \left(\frac{x}{2} + \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4}\right) \sin{\left(1 \right)} \cos{\left(1 \right)}

    El resultado es: 24(x2+sin(2x)4)sin3(1)cos(1)+12(x2+sin(2x)4)sin(1)cos(1)16(3x8+sin(2x)4+sin(4x)32)sin(1)cos(1)+32(3x8+sin(2x)4+sin(4x)32)sin3(1)cos(1)sin4(x)8sin4(x)cos4(1)+8sin4(x)cos2(1)3cos2(x)212cos4(1)cos2(x)+12cos2(1)cos2(x)- 24 \left(\frac{x}{2} + \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4}\right) \sin^{3}{\left(1 \right)} \cos{\left(1 \right)} + 12 \left(\frac{x}{2} + \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4}\right) \sin{\left(1 \right)} \cos{\left(1 \right)} - 16 \left(\frac{3 x}{8} + \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4} + \frac{\sin{\left(4 x \right)}}{32}\right) \sin{\left(1 \right)} \cos{\left(1 \right)} + 32 \left(\frac{3 x}{8} + \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4} + \frac{\sin{\left(4 x \right)}}{32}\right) \sin^{3}{\left(1 \right)} \cos{\left(1 \right)} - \sin^{4}{\left(x \right)} - 8 \sin^{4}{\left(x \right)} \cos^{4}{\left(1 \right)} + 8 \sin^{4}{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(1 \right)} - \frac{3 \cos^{2}{\left(x \right)}}{2} - 12 \cos^{4}{\left(1 \right)} \cos^{2}{\left(x \right)} + 12 \cos^{2}{\left(1 \right)} \cos^{2}{\left(x \right)}

  3. Ahora simplificar:

    cos(2x4)4cos(4x4)89cos(4)8- \frac{\cos{\left(2 x - 4 \right)}}{4} - \frac{\cos{\left(4 x - 4 \right)}}{8} - \frac{9 \cos{\left(4 \right)}}{8}

  4. Añadimos la constante de integración:

    cos(2x4)4cos(4x4)89cos(4)8+constant- \frac{\cos{\left(2 x - 4 \right)}}{4} - \frac{\cos{\left(4 x - 4 \right)}}{8} - \frac{9 \cos{\left(4 \right)}}{8}+ \mathrm{constant}


Respuesta:

cos(2x4)4cos(4x4)89cos(4)8+constant- \frac{\cos{\left(2 x - 4 \right)}}{4} - \frac{\cos{\left(4 x - 4 \right)}}{8} - \frac{9 \cos{\left(4 \right)}}{8}+ \mathrm{constant}

Respuesta (Indefinida) [src]
  /                                            2                                                                                                                                                                                                                                                         
 |                                 4      3*cos (x)         4       2           4       4           2       4            2       2            3    /x   sin(2*x)\             /sin(2*x)   sin(4*x)   3*x\                    /x   sin(2*x)\                       3    /sin(2*x)   sin(4*x)   3*x\       
 | sin(3*x - 4)*cos(x) dx = C - sin (x) - --------- - 12*cos (1)*cos (x) - 8*cos (1)*sin (x) + 8*cos (1)*sin (x) + 12*cos (1)*cos (x) - 24*sin (1)*|- + --------|*cos(1) - 16*|-------- + -------- + ---|*cos(1)*sin(1) + 12*|- + --------|*cos(1)*sin(1) + 32*sin (1)*|-------- + -------- + ---|*cos(1)
 |                                            2                                                                                                    \2      4    /             \   4          32       8 /                    \2      4    /                            \   4          32       8 /       
/                                                                                                                                                                                                                                                                                                        
sin(3x4)cos(x)dx=C24(x2+sin(2x)4)sin3(1)cos(1)+12(x2+sin(2x)4)sin(1)cos(1)16(3x8+sin(2x)4+sin(4x)32)sin(1)cos(1)+32(3x8+sin(2x)4+sin(4x)32)sin3(1)cos(1)sin4(x)8sin4(x)cos4(1)+8sin4(x)cos2(1)3cos2(x)212cos4(1)cos2(x)+12cos2(1)cos2(x)\int \sin{\left(3 x - 4 \right)} \cos{\left(x \right)}\, dx = C - 24 \left(\frac{x}{2} + \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4}\right) \sin^{3}{\left(1 \right)} \cos{\left(1 \right)} + 12 \left(\frac{x}{2} + \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4}\right) \sin{\left(1 \right)} \cos{\left(1 \right)} - 16 \left(\frac{3 x}{8} + \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4} + \frac{\sin{\left(4 x \right)}}{32}\right) \sin{\left(1 \right)} \cos{\left(1 \right)} + 32 \left(\frac{3 x}{8} + \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4} + \frac{\sin{\left(4 x \right)}}{32}\right) \sin^{3}{\left(1 \right)} \cos{\left(1 \right)} - \sin^{4}{\left(x \right)} - 8 \sin^{4}{\left(x \right)} \cos^{4}{\left(1 \right)} + 8 \sin^{4}{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(1 \right)} - \frac{3 \cos^{2}{\left(x \right)}}{2} - 12 \cos^{4}{\left(1 \right)} \cos^{2}{\left(x \right)} + 12 \cos^{2}{\left(1 \right)} \cos^{2}{\left(x \right)}
Gráfica
0.001.000.100.200.300.400.500.600.700.800.902-2
Respuesta [src]
       2         2              
  3*cos (1)   sin (1)   3*cos(4)
- --------- + ------- + --------
      8          8         8    
3cos(4)83cos2(1)8+sin2(1)8\frac{3 \cos{\left(4 \right)}}{8} - \frac{3 \cos^{2}{\left(1 \right)}}{8} + \frac{\sin^{2}{\left(1 \right)}}{8}
=
=
       2         2              
  3*cos (1)   sin (1)   3*cos(4)
- --------- + ------- + --------
      8          8         8    
3cos(4)83cos2(1)8+sin2(1)8\frac{3 \cos{\left(4 \right)}}{8} - \frac{3 \cos^{2}{\left(1 \right)}}{8} + \frac{\sin^{2}{\left(1 \right)}}{8}
-3*cos(1)^2/8 + sin(1)^2/8 + 3*cos(4)/8
Respuesta numérica [src]
-0.266079648687069
-0.266079648687069

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.