Integral de sin(3x-4)cosx dx

1. Vuelva a escribir el integrando:

   $\sin{\left(3 x - 4 \right)} \cos{\left(x \right)} = - 4 \sin^{3}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} - 32 \sin^{3}{\left(x \right)} \cos^{4}{\left(1 \right)} \cos{\left(x \right)} + 32 \sin^{3}{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(1 \right)} \cos{\left(x \right)} - 24 \sin{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(1 \right)} \cos{\left(x \right)} + 24 \sin{\left(x \right)} \cos^{4}{\left(1 \right)} \cos{\left(x \right)} + 3 \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} - 16 \sin{\left(1 \right)} \cos{\left(1 \right)} \cos^{4}{\left(x \right)} + 32 \sin^{3}{\left(1 \right)} \cos{\left(1 \right)} \cos^{4}{\left(x \right)} - 24 \sin^{3}{\left(1 \right)} \cos{\left(1 \right)} \cos^{2}{\left(x \right)} + 12 \sin{\left(1 \right)} \cos{\left(1 \right)} \cos^{2}{\left(x \right)}$

2. Integramos término a término:

   1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int \left(- 4 \sin^{3}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\right)\, dx = - 4 \int \sin^{3}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\, dx$

      1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

         Método #1

         1. que $u = \sin{\left(x \right)}$.

            Luego que $du = \cos{\left(x \right)} dx$ y ponemos $du$:

            $\int u^{3}\, du$

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int u^{3}\, du = \frac{u^{4}}{4}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $\frac{\sin^{4}{\left(x \right)}}{4}$

         Método #2

         1. Vuelva a escribir el integrando:

            $\sin^{3}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} = \left(1 - \cos^{2}{\left(x \right)}\right) \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}$

         2. que $u = - \cos^{2}{\left(x \right)}$.

            Luego que $du = 2 \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} dx$ y ponemos $du$:

            $\int \left(\frac{u}{2} + \frac{1}{2}\right)\, du$

            1. Integramos término a término:

               1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  $\int \frac{u}{2}\, du = \frac{\int u\, du}{2}$

                  1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                     $\int u\, du = \frac{u^{2}}{2}$

                  Por lo tanto, el resultado es: $\frac{u^{2}}{4}$

               1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

                  $\int \frac{1}{2}\, du = \frac{u}{2}$

               El resultado es: $\frac{u^{2}}{4} + \frac{u}{2}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $\frac{\cos^{4}{\left(x \right)}}{4} - \frac{\cos^{2}{\left(x \right)}}{2}$

      Por lo tanto, el resultado es: $- \sin^{4}{\left(x \right)}$

   1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int \left(- 32 \sin^{3}{\left(x \right)} \cos^{4}{\left(1 \right)} \cos{\left(x \right)}\right)\, dx = - 32 \cos^{4}{\left(1 \right)} \int \sin^{3}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\, dx$

      1. que $u = \sin{\left(x \right)}$.

         Luego que $du = \cos{\left(x \right)} dx$ y ponemos $du$:

         $\int u^{3}\, du$

         1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int u^{3}\, du = \frac{u^{4}}{4}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $\frac{\sin^{4}{\left(x \right)}}{4}$

      Por lo tanto, el resultado es: $- 8 \sin^{4}{\left(x \right)} \cos^{4}{\left(1 \right)}$

   1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int 32 \sin^{3}{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(1 \right)} \cos{\left(x \right)}\, dx = 32 \cos^{2}{\left(1 \right)} \int \sin^{3}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\, dx$

      1. que $u = \sin{\left(x \right)}$.

         Luego que $du = \cos{\left(x \right)} dx$ y ponemos $du$:

         $\int u^{3}\, du$

         1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int u^{3}\, du = \frac{u^{4}}{4}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $\frac{\sin^{4}{\left(x \right)}}{4}$

      Por lo tanto, el resultado es: $8 \sin^{4}{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(1 \right)}$

   1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int \left(- 24 \sin{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(1 \right)} \cos{\left(x \right)}\right)\, dx = - 24 \cos^{2}{\left(1 \right)} \int \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\, dx$

      1. que $u = \cos{\left(x \right)}$.

         Luego que $du = - \sin{\left(x \right)} dx$ y ponemos $- du$:

         $\int \left(- u\right)\, du$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int u\, du = - \int u\, du$

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int u\, du = \frac{u^{2}}{2}$

            Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{u^{2}}{2}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $- \frac{\cos^{2}{\left(x \right)}}{2}$

      Por lo tanto, el resultado es: $12 \cos^{2}{\left(1 \right)} \cos^{2}{\left(x \right)}$

   1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int 24 \sin{\left(x \right)} \cos^{4}{\left(1 \right)} \cos{\left(x \right)}\, dx = 24 \cos^{4}{\left(1 \right)} \int \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\, dx$

      1. que $u = \cos{\left(x \right)}$.

         Luego que $du = - \sin{\left(x \right)} dx$ y ponemos $- du$:

         $\int \left(- u\right)\, du$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int u\, du = - \int u\, du$

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int u\, du = \frac{u^{2}}{2}$

            Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{u^{2}}{2}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $- \frac{\cos^{2}{\left(x \right)}}{2}$

      Por lo tanto, el resultado es: $- 12 \cos^{4}{\left(1 \right)} \cos^{2}{\left(x \right)}$

   1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int 3 \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\, dx = 3 \int \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\, dx$

      1. que $u = \cos{\left(x \right)}$.

         Luego que $du = - \sin{\left(x \right)} dx$ y ponemos $- du$:

         $\int \left(- u\right)\, du$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int u\, du = - \int u\, du$

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int u\, du = \frac{u^{2}}{2}$

            Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{u^{2}}{2}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $- \frac{\cos^{2}{\left(x \right)}}{2}$

      Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{3 \cos^{2}{\left(x \right)}}{2}$

   1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int \left(- 16 \sin{\left(1 \right)} \cos{\left(1 \right)} \cos^{4}{\left(x \right)}\right)\, dx = - 16 \sin{\left(1 \right)} \cos{\left(1 \right)} \int \cos^{4}{\left(x \right)}\, dx$

      1. Vuelva a escribir el integrando:

         $\cos^{4}{\left(x \right)} = \left(\frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2} + \frac{1}{2}\right)^{2}$

      2. Hay varias maneras de calcular esta integral.

         Método #1

         1. Vuelva a escribir el integrando:

            $\left(\frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2} + \frac{1}{2}\right)^{2} = \frac{\cos^{2}{\left(2 x \right)}}{4} + \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2} + \frac{1}{4}$

         2. Integramos término a término:

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \frac{\cos^{2}{\left(2 x \right)}}{4}\, dx = \frac{\int \cos^{2}{\left(2 x \right)}\, dx}{4}$

               1. Vuelva a escribir el integrando:

                  $\cos^{2}{\left(2 x \right)} = \frac{\cos{\left(4 x \right)}}{2} + \frac{1}{2}$

               2. Integramos término a término:

                  1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                     $\int \frac{\cos{\left(4 x \right)}}{2}\, dx = \frac{\int \cos{\left(4 x \right)}\, dx}{2}$

                     1. que $u = 4 x$.

                        Luego que $du = 4 dx$ y ponemos $\frac{du}{4}$:

                        $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{4}\, du$

                        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                           $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{4}$

                           1. La integral del coseno es seno:

                              $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}$

                           Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\sin{\left(u \right)}}{4}$

                        Si ahora sustituir $u$ más en:

                        $\frac{\sin{\left(4 x \right)}}{4}$

                     Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\sin{\left(4 x \right)}}{8}$

                  1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

                     $\int \frac{1}{2}\, dx = \frac{x}{2}$

                  El resultado es: $\frac{x}{2} + \frac{\sin{\left(4 x \right)}}{8}$

               Por lo tanto, el resultado es: $\frac{x}{8} + \frac{\sin{\left(4 x \right)}}{32}$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2}\, dx = \frac{\int \cos{\left(2 x \right)}\, dx}{2}$

               1. que $u = 2 x$.

                  Luego que $du = 2 dx$ y ponemos $\frac{du}{2}$:

                  $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{2}\, du$

                  1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                     $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{2}$

                     1. La integral del coseno es seno:

                        $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}$

                     Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\sin{\left(u \right)}}{2}$

                  Si ahora sustituir $u$ más en:

                  $\frac{\sin{\left(2 x \right)}}{2}$

               Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4}$

            1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

               $\int \frac{1}{4}\, dx = \frac{x}{4}$

            El resultado es: $\frac{3 x}{8} + \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4} + \frac{\sin{\left(4 x \right)}}{32}$

         Método #2

         1. Vuelva a escribir el integrando:

            $\left(\frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2} + \frac{1}{2}\right)^{2} = \frac{\cos^{2}{\left(2 x \right)}}{4} + \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2} + \frac{1}{4}$

         2. Integramos término a término:

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \frac{\cos^{2}{\left(2 x \right)}}{4}\, dx = \frac{\int \cos^{2}{\left(2 x \right)}\, dx}{4}$

               1. Vuelva a escribir el integrando:

                  $\cos^{2}{\left(2 x \right)} = \frac{\cos{\left(4 x \right)}}{2} + \frac{1}{2}$

               2. Integramos término a término:

                  1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                     $\int \frac{\cos{\left(4 x \right)}}{2}\, dx = \frac{\int \cos{\left(4 x \right)}\, dx}{2}$

                     1. que $u = 4 x$.

                        Luego que $du = 4 dx$ y ponemos $\frac{du}{4}$:

                        $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{4}\, du$

                        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                           $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{4}$

                           1. La integral del coseno es seno:

                              $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}$

                           Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\sin{\left(u \right)}}{4}$

                        Si ahora sustituir $u$ más en:

                        $\frac{\sin{\left(4 x \right)}}{4}$

                     Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\sin{\left(4 x \right)}}{8}$

                  1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

                     $\int \frac{1}{2}\, dx = \frac{x}{2}$

                  El resultado es: $\frac{x}{2} + \frac{\sin{\left(4 x \right)}}{8}$

               Por lo tanto, el resultado es: $\frac{x}{8} + \frac{\sin{\left(4 x \right)}}{32}$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2}\, dx = \frac{\int \cos{\left(2 x \right)}\, dx}{2}$

               1. que $u = 2 x$.

                  Luego que $du = 2 dx$ y ponemos $\frac{du}{2}$:

                  $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{2}\, du$

                  1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                     $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{2}$

                     1. La integral del coseno es seno:

                        $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}$

                     Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\sin{\left(u \right)}}{2}$

                  Si ahora sustituir $u$ más en:

                  $\frac{\sin{\left(2 x \right)}}{2}$

               Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4}$

            1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

               $\int \frac{1}{4}\, dx = \frac{x}{4}$

            El resultado es: $\frac{3 x}{8} + \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4} + \frac{\sin{\left(4 x \right)}}{32}$

      Por lo tanto, el resultado es: $- 16 \left(\frac{3 x}{8} + \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4} + \frac{\sin{\left(4 x \right)}}{32}\right) \sin{\left(1 \right)} \cos{\left(1 \right)}$

   1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int 32 \sin^{3}{\left(1 \right)} \cos{\left(1 \right)} \cos^{4}{\left(x \right)}\, dx = 32 \sin^{3}{\left(1 \right)} \cos{\left(1 \right)} \int \cos^{4}{\left(x \right)}\, dx$

      1. Vuelva a escribir el integrando:

         $\cos^{4}{\left(x \right)} = \left(\frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2} + \frac{1}{2}\right)^{2}$

      2. Vuelva a escribir el integrando:

         $\left(\frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2} + \frac{1}{2}\right)^{2} = \frac{\cos^{2}{\left(2 x \right)}}{4} + \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2} + \frac{1}{4}$

      3. Integramos término a término:

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \frac{\cos^{2}{\left(2 x \right)}}{4}\, dx = \frac{\int \cos^{2}{\left(2 x \right)}\, dx}{4}$

            1. Vuelva a escribir el integrando:

               $\cos^{2}{\left(2 x \right)} = \frac{\cos{\left(4 x \right)}}{2} + \frac{1}{2}$

            2. Integramos término a término:

               1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  $\int \frac{\cos{\left(4 x \right)}}{2}\, dx = \frac{\int \cos{\left(4 x \right)}\, dx}{2}$

                  1. que $u = 4 x$.

                     Luego que $du = 4 dx$ y ponemos $\frac{du}{4}$:

                     $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{4}\, du$

                     1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                        $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{4}$

                        1. La integral del coseno es seno:

                           $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}$

                        Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\sin{\left(u \right)}}{4}$

                     Si ahora sustituir $u$ más en:

                     $\frac{\sin{\left(4 x \right)}}{4}$

                  Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\sin{\left(4 x \right)}}{8}$

               1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

                  $\int \frac{1}{2}\, dx = \frac{x}{2}$

               El resultado es: $\frac{x}{2} + \frac{\sin{\left(4 x \right)}}{8}$

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{x}{8} + \frac{\sin{\left(4 x \right)}}{32}$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2}\, dx = \frac{\int \cos{\left(2 x \right)}\, dx}{2}$

            1. que $u = 2 x$.

               Luego que $du = 2 dx$ y ponemos $\frac{du}{2}$:

               $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{2}\, du$

               1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{2}$

                  1. La integral del coseno es seno:

                     $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}$

                  Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\sin{\left(u \right)}}{2}$

               Si ahora sustituir $u$ más en:

               $\frac{\sin{\left(2 x \right)}}{2}$

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4}$

         1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

            $\int \frac{1}{4}\, dx = \frac{x}{4}$

         El resultado es: $\frac{3 x}{8} + \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4} + \frac{\sin{\left(4 x \right)}}{32}$

      Por lo tanto, el resultado es: $32 \left(\frac{3 x}{8} + \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4} + \frac{\sin{\left(4 x \right)}}{32}\right) \sin^{3}{\left(1 \right)} \cos{\left(1 \right)}$

   1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int \left(- 24 \sin^{3}{\left(1 \right)} \cos{\left(1 \right)} \cos^{2}{\left(x \right)}\right)\, dx = - 24 \sin^{3}{\left(1 \right)} \cos{\left(1 \right)} \int \cos^{2}{\left(x \right)}\, dx$

      1. Vuelva a escribir el integrando:

         $\cos^{2}{\left(x \right)} = \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2} + \frac{1}{2}$

      2. Integramos término a término:

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2}\, dx = \frac{\int \cos{\left(2 x \right)}\, dx}{2}$

            1. que $u = 2 x$.

               Luego que $du = 2 dx$ y ponemos $\frac{du}{2}$:

               $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{2}\, du$

               1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{2}$

                  1. La integral del coseno es seno:

                     $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}$

                  Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\sin{\left(u \right)}}{2}$

               Si ahora sustituir $u$ más en:

               $\frac{\sin{\left(2 x \right)}}{2}$

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4}$

         1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

            $\int \frac{1}{2}\, dx = \frac{x}{2}$

         El resultado es: $\frac{x}{2} + \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4}$

      Por lo tanto, el resultado es: $- 24 \left(\frac{x}{2} + \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4}\right) \sin^{3}{\left(1 \right)} \cos{\left(1 \right)}$

   1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int 12 \sin{\left(1 \right)} \cos{\left(1 \right)} \cos^{2}{\left(x \right)}\, dx = 12 \sin{\left(1 \right)} \cos{\left(1 \right)} \int \cos^{2}{\left(x \right)}\, dx$

      1. Vuelva a escribir el integrando:

         $\cos^{2}{\left(x \right)} = \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2} + \frac{1}{2}$

      2. Integramos término a término:

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2}\, dx = \frac{\int \cos{\left(2 x \right)}\, dx}{2}$

            1. que $u = 2 x$.

               Luego que $du = 2 dx$ y ponemos $\frac{du}{2}$:

               $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{2}\, du$

               1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{2}$

                  1. La integral del coseno es seno:

                     $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}$

                  Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\sin{\left(u \right)}}{2}$

               Si ahora sustituir $u$ más en:

               $\frac{\sin{\left(2 x \right)}}{2}$

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4}$

         1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

            $\int \frac{1}{2}\, dx = \frac{x}{2}$

         El resultado es: $\frac{x}{2} + \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4}$

      Por lo tanto, el resultado es: $12 \left(\frac{x}{2} + \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4}\right) \sin{\left(1 \right)} \cos{\left(1 \right)}$

   El resultado es: $- 24 \left(\frac{x}{2} + \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4}\right) \sin^{3}{\left(1 \right)} \cos{\left(1 \right)} + 12 \left(\frac{x}{2} + \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4}\right) \sin{\left(1 \right)} \cos{\left(1 \right)} - 16 \left(\frac{3 x}{8} + \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4} + \frac{\sin{\left(4 x \right)}}{32}\right) \sin{\left(1 \right)} \cos{\left(1 \right)} + 32 \left(\frac{3 x}{8} + \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4} + \frac{\sin{\left(4 x \right)}}{32}\right) \sin^{3}{\left(1 \right)} \cos{\left(1 \right)} - \sin^{4}{\left(x \right)} - 8 \sin^{4}{\left(x \right)} \cos^{4}{\left(1 \right)} + 8 \sin^{4}{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(1 \right)} - \frac{3 \cos^{2}{\left(x \right)}}{2} - 12 \cos^{4}{\left(1 \right)} \cos^{2}{\left(x \right)} + 12 \cos^{2}{\left(1 \right)} \cos^{2}{\left(x \right)}$

3. Ahora simplificar:

   $- \frac{\cos{\left(2 x - 4 \right)}}{4} - \frac{\cos{\left(4 x - 4 \right)}}{8} - \frac{9 \cos{\left(4 \right)}}{8}$

4. Añadimos la constante de integración:

   $- \frac{\cos{\left(2 x - 4 \right)}}{4} - \frac{\cos{\left(4 x - 4 \right)}}{8} - \frac{9 \cos{\left(4 \right)}}{8}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$- \frac{\cos{\left(2 x - 4 \right)}}{4} - \frac{\cos{\left(4 x - 4 \right)}}{8} - \frac{9 \cos{\left(4 \right)}}{8}+ \mathrm{constant}$