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Resolución de integrales/ cos(2*x)/ sin(2*x)/ (sin(2*x)-cos(2*x))^2

Integral de (sin(2*x)-cos(2*x))^2 dx

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
 pi                          
 --                          
 4                           
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 |  (sin(2*x) - cos(2*x))  dx
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/                            
pi
∫ππ4(sin⁡(2x)−cos⁡(2x))2 dx\int\limits_{\pi}^{\frac{\pi}{4}} \left(\sin{\left(2 x \right)} - \cos{\left(2 x \right)}\right)^{2}\, dx 
Integral((sin(2*x) - cos(2*x))^2, (x, pi, pi/4))
Solución detallada

  1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

    Método #1

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      (sin⁡(2x)−cos⁡(2x))2=sin⁡2(2x)−2sin⁡(2x)cos⁡(2x)+cos⁡2(2x)\left(\sin{\left(2 x \right)} - \cos{\left(2 x \right)}\right)^{2} = \sin^{2}{\left(2 x \right)} - 2 \sin{\left(2 x \right)} \cos{\left(2 x \right)} + \cos^{2}{\left(2 x \right)}

    2. Integramos término a término:

      1. Vuelva a escribir el integrando:

        sin⁡2(2x)=12−cos⁡(4x)2\sin^{2}{\left(2 x \right)} = \frac{1}{2} - \frac{\cos{\left(4 x \right)}}{2}

      2. Integramos término a término:

        1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

          ∫12 dx=x2\int \frac{1}{2}\, dx = \frac{x}{2}

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫(−cos⁡(4x)2) dx=−∫cos⁡(4x) dx2\int \left(- \frac{\cos{\left(4 x \right)}}{2}\right)\, dx = - \frac{\int \cos{\left(4 x \right)}\, dx}{2}

          1. que u=4xu = 4 x.

            Luego que du=4dxdu = 4 dx y ponemos du4\frac{du}{4}:

            ∫cos⁡(u)4 du\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{4}\, du

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              ∫cos⁡(u) du=∫cos⁡(u) du4\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{4}

              1. La integral del coseno es seno:

                ∫cos⁡(u) du=sin⁡(u)\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}

              Por lo tanto, el resultado es: sin⁡(u)4\frac{\sin{\left(u \right)}}{4}

            Si ahora sustituir uu más en:

            sin⁡(4x)4\frac{\sin{\left(4 x \right)}}{4}

          Por lo tanto, el resultado es: −sin⁡(4x)8- \frac{\sin{\left(4 x \right)}}{8}

        El resultado es: x2−sin⁡(4x)8\frac{x}{2} - \frac{\sin{\left(4 x \right)}}{8}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫(−2sin⁡(2x)cos⁡(2x)) dx=−2∫sin⁡(2x)cos⁡(2x) dx\int \left(- 2 \sin{\left(2 x \right)} \cos{\left(2 x \right)}\right)\, dx = - 2 \int \sin{\left(2 x \right)} \cos{\left(2 x \right)}\, dx

        1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

          Método #1

          1. que u=cos⁡(2x)u = \cos{\left(2 x \right)}.

            Luego que du=−2sin⁡(2x)dxdu = - 2 \sin{\left(2 x \right)} dx y ponemos −du2- \frac{du}{2}:

            ∫(−u2) du\int \left(- \frac{u}{2}\right)\, du

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              ∫u du=−∫u du2\int u\, du = - \frac{\int u\, du}{2}

              1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

                ∫u du=u22\int u\, du = \frac{u^{2}}{2}

              Por lo tanto, el resultado es: −u24- \frac{u^{2}}{4}

            Si ahora sustituir uu más en:

            −cos⁡2(2x)4- \frac{\cos^{2}{\left(2 x \right)}}{4}

          Método #2

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫2sin⁡(x)cos⁡(x)cos⁡(2x) dx=2∫sin⁡(x)cos⁡(x)cos⁡(2x) dx\int 2 \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} \cos{\left(2 x \right)}\, dx = 2 \int \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} \cos{\left(2 x \right)}\, dx

            1. Vuelva a escribir el integrando:

              sin⁡(x)cos⁡(x)cos⁡(2x)=2sin⁡(x)cos⁡3(x)−sin⁡(x)cos⁡(x)\sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} \cos{\left(2 x \right)} = 2 \sin{\left(x \right)} \cos^{3}{\left(x \right)} - \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}

            2. Integramos término a término:

              1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                ∫2sin⁡(x)cos⁡3(x) dx=2∫sin⁡(x)cos⁡3(x) dx\int 2 \sin{\left(x \right)} \cos^{3}{\left(x \right)}\, dx = 2 \int \sin{\left(x \right)} \cos^{3}{\left(x \right)}\, dx

                1. que u=cos⁡(x)u = \cos{\left(x \right)}.

                  Luego que du=−sin⁡(x)dxdu = - \sin{\left(x \right)} dx y ponemos −du- du:

                  ∫(−u3) du\int \left(- u^{3}\right)\, du

                  1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                    ∫u3 du=−∫u3 du\int u^{3}\, du = - \int u^{3}\, du

                    1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

                      ∫u3 du=u44\int u^{3}\, du = \frac{u^{4}}{4}

                    Por lo tanto, el resultado es: −u44- \frac{u^{4}}{4}

                  Si ahora sustituir uu más en:

                  −cos⁡4(x)4- \frac{\cos^{4}{\left(x \right)}}{4}

                Por lo tanto, el resultado es: −cos⁡4(x)2- \frac{\cos^{4}{\left(x \right)}}{2}

              1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                ∫(−sin⁡(x)cos⁡(x)) dx=−∫sin⁡(x)cos⁡(x) dx\int \left(- \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\right)\, dx = - \int \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\, dx

                1. que u=cos⁡(x)u = \cos{\left(x \right)}.

                  Luego que du=−sin⁡(x)dxdu = - \sin{\left(x \right)} dx y ponemos −du- du:

                  ∫(−u) du\int \left(- u\right)\, du

                  1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                    ∫u du=−∫u du\int u\, du = - \int u\, du

                    1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

                      ∫u du=u22\int u\, du = \frac{u^{2}}{2}

                    Por lo tanto, el resultado es: −u22- \frac{u^{2}}{2}

                  Si ahora sustituir uu más en:

                  −cos⁡2(x)2- \frac{\cos^{2}{\left(x \right)}}{2}

                Por lo tanto, el resultado es: cos⁡2(x)2\frac{\cos^{2}{\left(x \right)}}{2}

              El resultado es: −cos⁡4(x)2+cos⁡2(x)2- \frac{\cos^{4}{\left(x \right)}}{2} + \frac{\cos^{2}{\left(x \right)}}{2}

            Por lo tanto, el resultado es: −cos⁡4(x)+cos⁡2(x)- \cos^{4}{\left(x \right)} + \cos^{2}{\left(x \right)}

        Por lo tanto, el resultado es: cos⁡2(2x)2\frac{\cos^{2}{\left(2 x \right)}}{2}

      1. Vuelva a escribir el integrando:

        cos⁡2(2x)=cos⁡(4x)2+12\cos^{2}{\left(2 x \right)} = \frac{\cos{\left(4 x \right)}}{2} + \frac{1}{2}

      2. Integramos término a término:

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫cos⁡(4x)2 dx=∫cos⁡(4x) dx2\int \frac{\cos{\left(4 x \right)}}{2}\, dx = \frac{\int \cos{\left(4 x \right)}\, dx}{2}

          1. que u=4xu = 4 x.

            Luego que du=4dxdu = 4 dx y ponemos du4\frac{du}{4}:

            ∫cos⁡(u)4 du\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{4}\, du

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              ∫cos⁡(u) du=∫cos⁡(u) du4\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{4}

              1. La integral del coseno es seno:

                ∫cos⁡(u) du=sin⁡(u)\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}

              Por lo tanto, el resultado es: sin⁡(u)4\frac{\sin{\left(u \right)}}{4}

            Si ahora sustituir uu más en:

            sin⁡(4x)4\frac{\sin{\left(4 x \right)}}{4}

          Por lo tanto, el resultado es: sin⁡(4x)8\frac{\sin{\left(4 x \right)}}{8}

        1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

          ∫12 dx=x2\int \frac{1}{2}\, dx = \frac{x}{2}

        El resultado es: x2+sin⁡(4x)8\frac{x}{2} + \frac{\sin{\left(4 x \right)}}{8}

      El resultado es: x+cos⁡2(2x)2x + \frac{\cos^{2}{\left(2 x \right)}}{2}

    Método #2

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      (sin⁡(2x)−cos⁡(2x))2=sin⁡2(2x)−2sin⁡(2x)cos⁡(2x)+cos⁡2(2x)\left(\sin{\left(2 x \right)} - \cos{\left(2 x \right)}\right)^{2} = \sin^{2}{\left(2 x \right)} - 2 \sin{\left(2 x \right)} \cos{\left(2 x \right)} + \cos^{2}{\left(2 x \right)}

    2. Integramos término a término:

      1. Vuelva a escribir el integrando:

        sin⁡2(2x)=12−cos⁡(4x)2\sin^{2}{\left(2 x \right)} = \frac{1}{2} - \frac{\cos{\left(4 x \right)}}{2}

      2. Integramos término a término:

        1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

          ∫12 dx=x2\int \frac{1}{2}\, dx = \frac{x}{2}

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫(−cos⁡(4x)2) dx=−∫cos⁡(4x) dx2\int \left(- \frac{\cos{\left(4 x \right)}}{2}\right)\, dx = - \frac{\int \cos{\left(4 x \right)}\, dx}{2}

          1. que u=4xu = 4 x.

            Luego que du=4dxdu = 4 dx y ponemos du4\frac{du}{4}:

            ∫cos⁡(u)4 du\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{4}\, du

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              ∫cos⁡(u) du=∫cos⁡(u) du4\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{4}

              1. La integral del coseno es seno:

                ∫cos⁡(u) du=sin⁡(u)\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}

              Por lo tanto, el resultado es: sin⁡(u)4\frac{\sin{\left(u \right)}}{4}

            Si ahora sustituir uu más en:

            sin⁡(4x)4\frac{\sin{\left(4 x \right)}}{4}

          Por lo tanto, el resultado es: −sin⁡(4x)8- \frac{\sin{\left(4 x \right)}}{8}

        El resultado es: x2−sin⁡(4x)8\frac{x}{2} - \frac{\sin{\left(4 x \right)}}{8}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫(−2sin⁡(2x)cos⁡(2x)) dx=−2∫sin⁡(2x)cos⁡(2x) dx\int \left(- 2 \sin{\left(2 x \right)} \cos{\left(2 x \right)}\right)\, dx = - 2 \int \sin{\left(2 x \right)} \cos{\left(2 x \right)}\, dx

        1. que u=cos⁡(2x)u = \cos{\left(2 x \right)}.

          Luego que du=−2sin⁡(2x)dxdu = - 2 \sin{\left(2 x \right)} dx y ponemos −du2- \frac{du}{2}:

          ∫(−u2) du\int \left(- \frac{u}{2}\right)\, du

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫u du=−∫u du2\int u\, du = - \frac{\int u\, du}{2}

            1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

              ∫u du=u22\int u\, du = \frac{u^{2}}{2}

            Por lo tanto, el resultado es: −u24- \frac{u^{2}}{4}

          Si ahora sustituir uu más en:

          −cos⁡2(2x)4- \frac{\cos^{2}{\left(2 x \right)}}{4}

        Por lo tanto, el resultado es: cos⁡2(2x)2\frac{\cos^{2}{\left(2 x \right)}}{2}

      1. Vuelva a escribir el integrando:

        cos⁡2(2x)=cos⁡(4x)2+12\cos^{2}{\left(2 x \right)} = \frac{\cos{\left(4 x \right)}}{2} + \frac{1}{2}

      2. Integramos término a término:

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫cos⁡(4x)2 dx=∫cos⁡(4x) dx2\int \frac{\cos{\left(4 x \right)}}{2}\, dx = \frac{\int \cos{\left(4 x \right)}\, dx}{2}

          1. que u=4xu = 4 x.

            Luego que du=4dxdu = 4 dx y ponemos du4\frac{du}{4}:

            ∫cos⁡(u)4 du\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{4}\, du

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              ∫cos⁡(u) du=∫cos⁡(u) du4\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{4}

              1. La integral del coseno es seno:

                ∫cos⁡(u) du=sin⁡(u)\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}

              Por lo tanto, el resultado es: sin⁡(u)4\frac{\sin{\left(u \right)}}{4}

            Si ahora sustituir uu más en:

            sin⁡(4x)4\frac{\sin{\left(4 x \right)}}{4}

          Por lo tanto, el resultado es: sin⁡(4x)8\frac{\sin{\left(4 x \right)}}{8}

        1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

          ∫12 dx=x2\int \frac{1}{2}\, dx = \frac{x}{2}

        El resultado es: x2+sin⁡(4x)8\frac{x}{2} + \frac{\sin{\left(4 x \right)}}{8}

      El resultado es: x+cos⁡2(2x)2x + \frac{\cos^{2}{\left(2 x \right)}}{2}

  2. Añadimos la constante de integración:

    x+cos⁡2(2x)2+constantx + \frac{\cos^{2}{\left(2 x \right)}}{2}+ \mathrm{constant}

Respuesta:

x+cos⁡2(2x)2+constantx + \frac{\cos^{2}{\left(2 x \right)}}{2}+ \mathrm{constant}

Gráfica
0.81.01.21.41.61.82.02.22.42.62.83.005
Trazar el gráfico f(x)
Respuesta [src] 
  1   3*pi
- - - ----
  2    4
−3π4−12- \frac{3 \pi}{4} - \frac{1}{2} 
=
= 
  1   3*pi
- - - ----
  2    4
−3π4−12- \frac{3 \pi}{4} - \frac{1}{2} 
-1/2 - 3*pi/4
Respuesta numérica [src] 
-2.85619449019234
-2.85619449019234

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.

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