Integral de (tgx+ctgx)² dx

1. Vuelva a escribir el integrando:

   $\left(\tan{\left(x \right)} + \cot{\left(x \right)}\right)^{2} = \tan^{2}{\left(x \right)} + 2 \tan{\left(x \right)} \cot{\left(x \right)} + \cot^{2}{\left(x \right)}$

2. Integramos término a término:

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\tan^{2}{\left(x \right)} = \sec^{2}{\left(x \right)} - 1$

   2. Integramos término a término:

      1. $\int \sec^{2}{\left(x \right)}\, dx = \tan{\left(x \right)}$

      1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

         $\int \left(-1\right)\, dx = - x$

      El resultado es: $- x + \tan{\left(x \right)}$

   1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int 2 \tan{\left(x \right)} \cot{\left(x \right)}\, dx = 2 \int \tan{\left(x \right)} \cot{\left(x \right)}\, dx$

      1. No puedo encontrar los pasos en la búsqueda de esta integral.

         Pero la integral

         $x$

      Por lo tanto, el resultado es: $2 x$

   1. No puedo encontrar los pasos en la búsqueda de esta integral.

      Pero la integral

      $- x - \frac{\cos{\left(x \right)}}{\sin{\left(x \right)}}$

   El resultado es: $\tan{\left(x \right)} - \frac{\cos{\left(x \right)}}{\sin{\left(x \right)}}$

3. Ahora simplificar:

   $\tan{\left(x \right)} - \frac{1}{\tan{\left(x \right)}}$

4. Añadimos la constante de integración:

   $\tan{\left(x \right)} - \frac{1}{\tan{\left(x \right)}}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\tan{\left(x \right)} - \frac{1}{\tan{\left(x \right)}}+ \mathrm{constant}$