Sr Examen
Integral de (-1)/cos(2*x) dx
Solución
Ha introducido
[src]
1 / | | -1 | -------- dx | cos(2*x) | / 0
$$\int\limits_{0}^{1} \left(- \frac{1}{\cos{\left(2 x \right)}}\right)\, dx$$
Integral(-1/cos(2*x), (x, 0, 1))
Solución detallada
Tenemos el integral:
/ | | -1 | -------- dx | cos(2*x) | /
La función subintegral
-1 -------- cos(2*x)
Multiplicamos numerador y denominador por
cos(2*x)
obtendremos
-1 -cos(2*x)
-------- = ----------
cos(2*x) 2
cos (2*x) Como
sin(a)^2 + cos(a)^2 = 1
entonces
2 2 cos (2*x) = 1 - sin (2*x)
cambiamos denominador
-cos(2*x) -cos(2*x) ---------- = ------------- 2 2 cos (2*x) 1 - sin (2*x)
hacemos el cambio
u = sin(2*x)
entonces integral
/ | | -cos(2*x) | ------------- dx | 2 = | 1 - sin (2*x) | /
/ | | -cos(2*x) | ------------- dx | 2 = | 1 - sin (2*x) | /
Como du = 2*dx*cos(2*x)
/ | | -1 | ---------- du | / 2\ | 2*\1 - u / | /
Reescribimos la función subintegral
/-1 \
|---|
-1 \ 2 / / 1 1 \
---------- = -----*|----- + -----|
/ 2\ 2 \1 - u 1 + u/
2*\1 - u / entonces
/ /
| |
| 1 | 1
| ----- du | ----- du
/ | 1 + u | 1 - u
| | |
| -1 / / =
| ---------- du = - ----------- - -----------
| / 2\ 4 4
| 2*\1 - u /
|
/
= -log(1 + u)/4 + log(-1 + u)/4
hacemos cambio inverso
u = sin(2*x)
Respuesta
/ | | -1 log(1 + sin(2*x)) log(-1 + sin(2*x)) | -------- dx = - ----------------- + ------------------ + C0 | cos(2*x) 4 4 | /
donde C0 es la constante que no depende de x
Respuesta (Indefinida)
[src]
/ | | -1 log(1 + sin(2*x)) log(-1 + sin(2*x)) | -------- dx = C - ----------------- + ------------------ | cos(2*x) 4 4 | /
$$\int \left(- \frac{1}{\cos{\left(2 x \right)}}\right)\, dx = C + \frac{\log{\left(\sin{\left(2 x \right)} - 1 \right)}}{4} - \frac{\log{\left(\sin{\left(2 x \right)} + 1 \right)}}{4}$$
Gráfica
Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.