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Resolución de integrales/ lnx/x/ ln^2x/ (ln^2x+1)6(1/2)*(lnx/x)

Integral de (ln^2x+1)6(1/2)*(lnx/x) dx

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
  1                          
  /                          
 |                           
 |  /   2       \            
 |  \log (x) + 1/*6 log(x)   
 |  ---------------*------ dx
 |         2          x      
 |                           
/                            
0
∫016(log⁡(x)2+1)2log⁡(x)x dx\int\limits_{0}^{1} \frac{6 \left(\log{\left(x \right)}^{2} + 1\right)}{2} \frac{\log{\left(x \right)}}{x}\, dx 
Integral((((log(x)^2 + 1)*6)/2)*(log(x)/x), (x, 0, 1))
Solución detallada

  1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

    Método #1

    1. que u=log⁡(x)2u = \log{\left(x \right)}^{2}.

      Luego que du=2log⁡(x)dxxdu = \frac{2 \log{\left(x \right)} dx}{x} y ponemos dudu:

      ∫(3u2+32) du\int \left(\frac{3 u}{2} + \frac{3}{2}\right)\, du

      1. Integramos término a término:

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫3u2 du=3∫u du2\int \frac{3 u}{2}\, du = \frac{3 \int u\, du}{2}

          1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

            ∫u du=u22\int u\, du = \frac{u^{2}}{2}

          Por lo tanto, el resultado es: 3u24\frac{3 u^{2}}{4}

        1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

          ∫32 du=3u2\int \frac{3}{2}\, du = \frac{3 u}{2}

        El resultado es: 3u24+3u2\frac{3 u^{2}}{4} + \frac{3 u}{2}

      Si ahora sustituir uu más en:

      3log⁡(x)44+3log⁡(x)22\frac{3 \log{\left(x \right)}^{4}}{4} + \frac{3 \log{\left(x \right)}^{2}}{2}

    Método #2

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      6(log⁡(x)2+1)2log⁡(x)x=3log⁡(x)3+3log⁡(x)x\frac{6 \left(\log{\left(x \right)}^{2} + 1\right)}{2} \frac{\log{\left(x \right)}}{x} = \frac{3 \log{\left(x \right)}^{3} + 3 \log{\left(x \right)}}{x}

    2. que u=1xu = \frac{1}{x}.

      Luego que du=−dxx2du = - \frac{dx}{x^{2}} y ponemos −du- du:

      ∫(−3log⁡(1u)3+3log⁡(1u)u) du\int \left(- \frac{3 \log{\left(\frac{1}{u} \right)}^{3} + 3 \log{\left(\frac{1}{u} \right)}}{u}\right)\, du

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫3log⁡(1u)3+3log⁡(1u)u du=−∫3log⁡(1u)3+3log⁡(1u)u du\int \frac{3 \log{\left(\frac{1}{u} \right)}^{3} + 3 \log{\left(\frac{1}{u} \right)}}{u}\, du = - \int \frac{3 \log{\left(\frac{1}{u} \right)}^{3} + 3 \log{\left(\frac{1}{u} \right)}}{u}\, du

        1. que u=log⁡(1u)u = \log{\left(\frac{1}{u} \right)}.

          Luego que du=−duudu = - \frac{du}{u} y ponemos dudu:

          ∫(−3u3−3u) du\int \left(- 3 u^{3} - 3 u\right)\, du

          1. Integramos término a término:

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              ∫(−3u3) du=−3∫u3 du\int \left(- 3 u^{3}\right)\, du = - 3 \int u^{3}\, du

              1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

                ∫u3 du=u44\int u^{3}\, du = \frac{u^{4}}{4}

              Por lo tanto, el resultado es: −3u44- \frac{3 u^{4}}{4}

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              ∫(−3u) du=−3∫u du\int \left(- 3 u\right)\, du = - 3 \int u\, du

              1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

                ∫u du=u22\int u\, du = \frac{u^{2}}{2}

              Por lo tanto, el resultado es: −3u22- \frac{3 u^{2}}{2}

            El resultado es: −3u44−3u22- \frac{3 u^{4}}{4} - \frac{3 u^{2}}{2}

          Si ahora sustituir uu más en:

          −3log⁡(1u)44−3log⁡(1u)22- \frac{3 \log{\left(\frac{1}{u} \right)}^{4}}{4} - \frac{3 \log{\left(\frac{1}{u} \right)}^{2}}{2}

        Por lo tanto, el resultado es: 3log⁡(1u)44+3log⁡(1u)22\frac{3 \log{\left(\frac{1}{u} \right)}^{4}}{4} + \frac{3 \log{\left(\frac{1}{u} \right)}^{2}}{2}

      Si ahora sustituir uu más en:

      3log⁡(x)44+3log⁡(x)22\frac{3 \log{\left(x \right)}^{4}}{4} + \frac{3 \log{\left(x \right)}^{2}}{2}

    Método #3

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      6(log⁡(x)2+1)2log⁡(x)x=3log⁡(x)3x+3log⁡(x)x\frac{6 \left(\log{\left(x \right)}^{2} + 1\right)}{2} \frac{\log{\left(x \right)}}{x} = \frac{3 \log{\left(x \right)}^{3}}{x} + \frac{3 \log{\left(x \right)}}{x}

    2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫3log⁡(x)3x dx=3∫log⁡(x)3x dx\int \frac{3 \log{\left(x \right)}^{3}}{x}\, dx = 3 \int \frac{\log{\left(x \right)}^{3}}{x}\, dx

        1. que u=1xu = \frac{1}{x}.

          Luego que du=−dxx2du = - \frac{dx}{x^{2}} y ponemos −du- du:

          ∫(−log⁡(1u)3u) du\int \left(- \frac{\log{\left(\frac{1}{u} \right)}^{3}}{u}\right)\, du

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫log⁡(1u)3u du=−∫log⁡(1u)3u du\int \frac{\log{\left(\frac{1}{u} \right)}^{3}}{u}\, du = - \int \frac{\log{\left(\frac{1}{u} \right)}^{3}}{u}\, du

            1. que u=log⁡(1u)u = \log{\left(\frac{1}{u} \right)}.

              Luego que du=−duudu = - \frac{du}{u} y ponemos −du- du:

              ∫(−u3) du\int \left(- u^{3}\right)\, du

              1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                ∫u3 du=−∫u3 du\int u^{3}\, du = - \int u^{3}\, du

                1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

                  ∫u3 du=u44\int u^{3}\, du = \frac{u^{4}}{4}

                Por lo tanto, el resultado es: −u44- \frac{u^{4}}{4}

              Si ahora sustituir uu más en:

              −log⁡(1u)44- \frac{\log{\left(\frac{1}{u} \right)}^{4}}{4}

            Por lo tanto, el resultado es: log⁡(1u)44\frac{\log{\left(\frac{1}{u} \right)}^{4}}{4}

          Si ahora sustituir uu más en:

          log⁡(x)44\frac{\log{\left(x \right)}^{4}}{4}

        Por lo tanto, el resultado es: 3log⁡(x)44\frac{3 \log{\left(x \right)}^{4}}{4}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫3log⁡(x)x dx=3∫log⁡(x)x dx\int \frac{3 \log{\left(x \right)}}{x}\, dx = 3 \int \frac{\log{\left(x \right)}}{x}\, dx

        1. que u=1xu = \frac{1}{x}.

          Luego que du=−dxx2du = - \frac{dx}{x^{2}} y ponemos −du- du:

          ∫(−log⁡(1u)u) du\int \left(- \frac{\log{\left(\frac{1}{u} \right)}}{u}\right)\, du

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫log⁡(1u)u du=−∫log⁡(1u)u du\int \frac{\log{\left(\frac{1}{u} \right)}}{u}\, du = - \int \frac{\log{\left(\frac{1}{u} \right)}}{u}\, du

            1. que u=log⁡(1u)u = \log{\left(\frac{1}{u} \right)}.

              Luego que du=−duudu = - \frac{du}{u} y ponemos −du- du:

              ∫(−u) du\int \left(- u\right)\, du

              1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                ∫u du=−∫u du\int u\, du = - \int u\, du

                1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

                  ∫u du=u22\int u\, du = \frac{u^{2}}{2}

                Por lo tanto, el resultado es: −u22- \frac{u^{2}}{2}

              Si ahora sustituir uu más en:

              −log⁡(1u)22- \frac{\log{\left(\frac{1}{u} \right)}^{2}}{2}

            Por lo tanto, el resultado es: log⁡(1u)22\frac{\log{\left(\frac{1}{u} \right)}^{2}}{2}

          Si ahora sustituir uu más en:

          log⁡(x)22\frac{\log{\left(x \right)}^{2}}{2}

        Por lo tanto, el resultado es: 3log⁡(x)22\frac{3 \log{\left(x \right)}^{2}}{2}

      El resultado es: 3log⁡(x)44+3log⁡(x)22\frac{3 \log{\left(x \right)}^{4}}{4} + \frac{3 \log{\left(x \right)}^{2}}{2}

  2. Ahora simplificar:

    3(log⁡(x)2+2)log⁡(x)24\frac{3 \left(\log{\left(x \right)}^{2} + 2\right) \log{\left(x \right)}^{2}}{4}

  3. Añadimos la constante de integración:

    3(log⁡(x)2+2)log⁡(x)24+constant\frac{3 \left(\log{\left(x \right)}^{2} + 2\right) \log{\left(x \right)}^{2}}{4}+ \mathrm{constant}

Respuesta:

3(log⁡(x)2+2)log⁡(x)24+constant\frac{3 \left(\log{\left(x \right)}^{2} + 2\right) \log{\left(x \right)}^{2}}{4}+ \mathrm{constant}

Respuesta (Indefinida) [src] 
  /                                                     
 |                                                      
 | /   2       \                        2           4   
 | \log (x) + 1/*6 log(x)          3*log (x)   3*log (x)
 | ---------------*------ dx = C + --------- + ---------
 |        2          x                 2           4    
 |                                                      
/
∫6(log⁡(x)2+1)2log⁡(x)x dx=C+3log⁡(x)44+3log⁡(x)22\int \frac{6 \left(\log{\left(x \right)}^{2} + 1\right)}{2} \frac{\log{\left(x \right)}}{x}\, dx = C + \frac{3 \log{\left(x \right)}^{4}}{4} + \frac{3 \log{\left(x \right)}^{2}}{2}
Simplificar
Respuesta [src] 
-oo
−∞-\infty 
=
= 
-oo
−∞-\infty 
-oo
Respuesta numérica [src] 
-2836825.59637517
-2836825.59637517

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.

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