Integral de (2*x^2+3*x)^2/x^4 dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\frac{\left(2 x^{2} + 3 x\right)^{2}}{x^{4}} = 4 + \frac{12}{x} + \frac{9}{x^{2}}$

   2. Integramos término a término:

      1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

         $\int 4\, dx = 4 x$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{12}{x}\, dx = 12 \int \frac{1}{x}\, dx$

         1. Integral $\frac{1}{x}$ es $\log{\left(x \right)}$.

         Por lo tanto, el resultado es: $12 \log{\left(x \right)}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{9}{x^{2}}\, dx = 9 \int \frac{1}{x^{2}}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int \frac{1}{x^{2}}\, dx = - \frac{1}{x}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{9}{x}$

      El resultado es: $4 x + 12 \log{\left(x \right)} - \frac{9}{x}$

   Método #2

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\frac{\left(2 x^{2} + 3 x\right)^{2}}{x^{4}} = \frac{4 x^{2} + 12 x + 9}{x^{2}}$

   2. Vuelva a escribir el integrando:

      $\frac{4 x^{2} + 12 x + 9}{x^{2}} = 4 + \frac{12}{x} + \frac{9}{x^{2}}$

   3. Integramos término a término:

      1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

         $\int 4\, dx = 4 x$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{12}{x}\, dx = 12 \int \frac{1}{x}\, dx$

         1. Integral $\frac{1}{x}$ es $\log{\left(x \right)}$.

         Por lo tanto, el resultado es: $12 \log{\left(x \right)}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{9}{x^{2}}\, dx = 9 \int \frac{1}{x^{2}}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int \frac{1}{x^{2}}\, dx = - \frac{1}{x}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{9}{x}$

      El resultado es: $4 x + 12 \log{\left(x \right)} - \frac{9}{x}$

2. Añadimos la constante de integración:

   $4 x + 12 \log{\left(x \right)} - \frac{9}{x}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$4 x + 12 \log{\left(x \right)} - \frac{9}{x}+ \mathrm{constant}$