Integral de x*arcsin(x/3) dx

1. Usamos la integración por partes:

   $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

   que $u{\left(x \right)} = \operatorname{asin}{\left(\frac{x}{3} \right)}$ y que $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = x$.

   Entonces $\operatorname{du}{\left(x \right)} = \frac{1}{3 \sqrt{1 - \frac{x^{2}}{9}}}$.

   Para buscar $v{\left(x \right)}$:

   1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

      $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$

   Ahora resolvemos podintegral.

2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

   $\int \frac{x^{2}}{6 \sqrt{1 - \frac{x^{2}}{9}}}\, dx = \frac{\int \frac{x^{2}}{\sqrt{1 - \frac{x^{2}}{9}}}\, dx}{6}$

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\frac{x^{2}}{\sqrt{1 - \frac{x^{2}}{9}}} = \frac{3 x^{2}}{\sqrt{9 - x^{2}}}$

   2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int \frac{3 x^{2}}{\sqrt{9 - x^{2}}}\, dx = 3 \int \frac{x^{2}}{\sqrt{9 - x^{2}}}\, dx$

      TrigSubstitutionRule(theta=_theta, func=3*sin(_theta), rewritten=9*sin(_theta)**2, substep=ConstantTimesRule(constant=9, other=sin(_theta)**2, substep=RewriteRule(rewritten=1/2 - cos(2*_theta)/2, substep=AddRule(substeps=[ConstantRule(constant=1/2, context=1/2, symbol=_theta), ConstantTimesRule(constant=-1/2, other=cos(2*_theta), substep=URule(u_var=_u, u_func=2*_theta, constant=1/2, substep=ConstantTimesRule(constant=1/2, other=cos(_u), substep=TrigRule(func='cos', arg=_u, context=cos(_u), symbol=_u), context=cos(_u), symbol=_u), context=cos(2*_theta), symbol=_theta), context=-cos(2*_theta)/2, symbol=_theta)], context=1/2 - cos(2*_theta)/2, symbol=_theta), context=sin(_theta)**2, symbol=_theta), context=9*sin(_theta)**2, symbol=_theta), restriction=(x > -3) & (x < 3), context=x**2/sqrt(9 - x**2), symbol=x)

      Por lo tanto, el resultado es: $3 \left(\begin{cases} - \frac{x \sqrt{9 - x^{2}}}{2} + \frac{9 \operatorname{asin}{\left(\frac{x}{3} \right)}}{2} & \text{for}\: x > -3 \wedge x < 3 \end{cases}\right)$

   Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\begin{cases} - \frac{x \sqrt{9 - x^{2}}}{2} + \frac{9 \operatorname{asin}{\left(\frac{x}{3} \right)}}{2} & \text{for}\: x > -3 \wedge x < 3 \end{cases}}{2}$

3. Ahora simplificar:

   $\begin{cases} \frac{2 x^{2} \operatorname{asin}{\left(\frac{x}{3} \right)} + x \sqrt{9 - x^{2}} - 9 \operatorname{asin}{\left(\frac{x}{3} \right)}}{4} & \text{for}\: x > -3 \wedge x < 3 \end{cases}$

4. Añadimos la constante de integración:

   $\begin{cases} \frac{2 x^{2} \operatorname{asin}{\left(\frac{x}{3} \right)} + x \sqrt{9 - x^{2}} - 9 \operatorname{asin}{\left(\frac{x}{3} \right)}}{4} & \text{for}\: x > -3 \wedge x < 3 \end{cases}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\begin{cases} \frac{2 x^{2} \operatorname{asin}{\left(\frac{x}{3} \right)} + x \sqrt{9 - x^{2}} - 9 \operatorname{asin}{\left(\frac{x}{3} \right)}}{4} & \text{for}\: x > -3 \wedge x < 3 \end{cases}+ \mathrm{constant}$