Integral de x^2×sqrt(x)/x-4/sqrt(x)/x+2/sqrt(x)/x dx

1. Integramos término a término:

   1. Integramos término a término:

      1. que $u = \sqrt{x}$.

         Luego que $du = \frac{dx}{2 \sqrt{x}}$ y ponemos $2 du$:

         $\int 2 u^{4}\, du$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int u^{4}\, du = 2 \int u^{4}\, du$

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int u^{4}\, du = \frac{u^{5}}{5}$

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{2 u^{5}}{5}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $\frac{2 x^{\frac{5}{2}}}{5}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- \frac{4 \frac{1}{\sqrt{x}}}{x}\right)\, dx = - \int \frac{4}{\sqrt{x} x}\, dx$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \frac{4}{\sqrt{x} x}\, dx = 4 \int \frac{1}{\sqrt{x} x}\, dx$

            1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

               Método #1

               1. que $u = \frac{1}{\sqrt{x}}$.

                  Luego que $du = - \frac{dx}{2 x^{\frac{3}{2}}}$ y ponemos $- 2 du$:

                  $\int \left(-2\right)\, du$

                  1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                     $\text{False}$

                     1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

                        $\int 1\, du = u$

                     Por lo tanto, el resultado es: $- 2 u$

                  Si ahora sustituir $u$ más en:

                  $- \frac{2}{\sqrt{x}}$

               Método #2

               1. que $u = \sqrt{x}$.

                  Luego que $du = \frac{dx}{2 \sqrt{x}}$ y ponemos $2 du$:

                  $\int \frac{2}{u^{2}}\, du$

                  1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                     $\int \frac{1}{u^{2}}\, du = 2 \int \frac{1}{u^{2}}\, du$

                     1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                        $\int \frac{1}{u^{2}}\, du = - \frac{1}{u}$

                     Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{2}{u}$

                  Si ahora sustituir $u$ más en:

                  $- \frac{2}{\sqrt{x}}$

            Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{8}{\sqrt{x}}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{8}{\sqrt{x}}$

      El resultado es: $\frac{2 x^{\frac{5}{2}}}{5} + \frac{8}{\sqrt{x}}$

   1. que $u = \frac{2}{\sqrt{x}}$.

      Luego que $du = - \frac{dx}{x^{\frac{3}{2}}}$ y ponemos $- 2 du$:

      $\int \left(-2\right)\, du$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\text{False}$

         1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

            $\int 1\, du = u$

         Por lo tanto, el resultado es: $- 2 u$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $- \frac{4}{\sqrt{x}}$

   El resultado es: $\frac{2 x^{\frac{5}{2}}}{5} + \frac{4}{\sqrt{x}}$

2. Ahora simplificar:

   $\frac{2 \left(x^{3} + 10\right)}{5 \sqrt{x}}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $\frac{2 \left(x^{3} + 10\right)}{5 \sqrt{x}}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{2 \left(x^{3} + 10\right)}{5 \sqrt{x}}+ \mathrm{constant}$