Integral de dx/(x+a)(x+b) dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\frac{b + x}{a + x} = - \frac{a - b}{a + x} + 1$

   2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- \frac{a - b}{a + x}\right)\, dx = \left(- a + b\right) \int \frac{1}{a + x}\, dx$

         1. que $u = a + x$.

            Luego que $du = dx$ y ponemos $du$:

            $\int \frac{1}{u}\, du$

            1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $\log{\left(a + x \right)}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\left(- a + b\right) \log{\left(a + x \right)}$

      1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

         $\int 1\, dx = x$

      El resultado es: $x + \left(- a + b\right) \log{\left(a + x \right)}$

   Método #2

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\frac{b + x}{a + x} = \frac{b}{a + x} + \frac{x}{a + x}$

   2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{b}{a + x}\, dx = b \int \frac{1}{a + x}\, dx$

         1. que $u = a + x$.

            Luego que $du = dx$ y ponemos $du$:

            $\int \frac{1}{u}\, du$

            1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $\log{\left(a + x \right)}$

         Por lo tanto, el resultado es: $b \log{\left(a + x \right)}$

      1. Vuelva a escribir el integrando:

         $\frac{x}{a + x} = - \frac{a}{a + x} + 1$

      2. Integramos término a término:

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \left(- \frac{a}{a + x}\right)\, dx = - a \int \frac{1}{a + x}\, dx$

            1. que $u = a + x$.

               Luego que $du = dx$ y ponemos $du$:

               $\int \frac{1}{u}\, du$

               1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

               Si ahora sustituir $u$ más en:

               $\log{\left(a + x \right)}$

            Por lo tanto, el resultado es: $- a \log{\left(a + x \right)}$

         1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

            $\int 1\, dx = x$

         El resultado es: $- a \log{\left(a + x \right)} + x$

      El resultado es: $- a \log{\left(a + x \right)} + b \log{\left(a + x \right)} + x$

2. Ahora simplificar:

   $x - \left(a - b\right) \log{\left(a + x \right)}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $x - \left(a - b\right) \log{\left(a + x \right)}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$x - \left(a - b\right) \log{\left(a + x \right)}+ \mathrm{constant}$