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Resolución de integrales/ x^2-x/ 3*x^2/ sin(x/2)/ (3*x^2-x+2)*sin(x/2)

Integral de (3*x^2-x+2)*sin(x/2) dx

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
  1                         
  /                         
 |                          
 |  /   2        \    /x\   
 |  \3*x  - x + 2/*sin|-| dx
 |                    \2/   
 |                          
/                           
0
∫01((3x2−x)+2)sin⁡(x2) dx\int\limits_{0}^{1} \left(\left(3 x^{2} - x\right) + 2\right) \sin{\left(\frac{x}{2} \right)}\, dx 
Integral((3*x^2 - x + 2)*sin(x/2), (x, 0, 1))
Solución detallada

  1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

    Método #1

    1. que u=−xu = - x.

      Luego que du=−dxdu = - dx y ponemos dudu:

      ∫(3u2sin⁡(u2)+usin⁡(u2)+2sin⁡(u2)) du\int \left(3 u^{2} \sin{\left(\frac{u}{2} \right)} + u \sin{\left(\frac{u}{2} \right)} + 2 \sin{\left(\frac{u}{2} \right)}\right)\, du

      1. Integramos término a término:

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫3u2sin⁡(u2) du=3∫u2sin⁡(u2) du\int 3 u^{2} \sin{\left(\frac{u}{2} \right)}\, du = 3 \int u^{2} \sin{\left(\frac{u}{2} \right)}\, du

          1. Usamos la integración por partes:

            ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

            que u(u)=u2u{\left(u \right)} = u^{2} y que dv⁡(u)=sin⁡(u2)\operatorname{dv}{\left(u \right)} = \sin{\left(\frac{u}{2} \right)}.

            Entonces du⁡(u)=2u\operatorname{du}{\left(u \right)} = 2 u.

            Para buscar v(u)v{\left(u \right)}:

            1. que u=u2u = \frac{u}{2}.

              Luego que du=du2du = \frac{du}{2} y ponemos 2du2 du:

              ∫2sin⁡(u) du\int 2 \sin{\left(u \right)}\, du

              1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                ∫sin⁡(u) du=2∫sin⁡(u) du\int \sin{\left(u \right)}\, du = 2 \int \sin{\left(u \right)}\, du

                1. La integral del seno es un coseno menos:

                  ∫sin⁡(u) du=−cos⁡(u)\int \sin{\left(u \right)}\, du = - \cos{\left(u \right)}

                Por lo tanto, el resultado es: −2cos⁡(u)- 2 \cos{\left(u \right)}

              Si ahora sustituir uu más en:

              −2cos⁡(u2)- 2 \cos{\left(\frac{u}{2} \right)}

            Ahora resolvemos podintegral.

          2. Usamos la integración por partes:

            ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

            que u(u)=−4uu{\left(u \right)} = - 4 u y que dv⁡(u)=cos⁡(u2)\operatorname{dv}{\left(u \right)} = \cos{\left(\frac{u}{2} \right)}.

            Entonces du⁡(u)=−4\operatorname{du}{\left(u \right)} = -4.

            Para buscar v(u)v{\left(u \right)}:

            1. que u=u2u = \frac{u}{2}.

              Luego que du=du2du = \frac{du}{2} y ponemos 2du2 du:

              ∫2cos⁡(u) du\int 2 \cos{\left(u \right)}\, du

              1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                ∫cos⁡(u) du=2∫cos⁡(u) du\int \cos{\left(u \right)}\, du = 2 \int \cos{\left(u \right)}\, du

                1. La integral del coseno es seno:

                  ∫cos⁡(u) du=sin⁡(u)\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}

                Por lo tanto, el resultado es: 2sin⁡(u)2 \sin{\left(u \right)}

              Si ahora sustituir uu más en:

              2sin⁡(u2)2 \sin{\left(\frac{u}{2} \right)}

            Ahora resolvemos podintegral.

          3. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫(−8sin⁡(u2)) du=−8∫sin⁡(u2) du\int \left(- 8 \sin{\left(\frac{u}{2} \right)}\right)\, du = - 8 \int \sin{\left(\frac{u}{2} \right)}\, du

            1. que u=u2u = \frac{u}{2}.

              Luego que du=du2du = \frac{du}{2} y ponemos 2du2 du:

              ∫2sin⁡(u) du\int 2 \sin{\left(u \right)}\, du

              1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                ∫sin⁡(u) du=2∫sin⁡(u) du\int \sin{\left(u \right)}\, du = 2 \int \sin{\left(u \right)}\, du

                1. La integral del seno es un coseno menos:

                  ∫sin⁡(u) du=−cos⁡(u)\int \sin{\left(u \right)}\, du = - \cos{\left(u \right)}

                Por lo tanto, el resultado es: −2cos⁡(u)- 2 \cos{\left(u \right)}

              Si ahora sustituir uu más en:

              −2cos⁡(u2)- 2 \cos{\left(\frac{u}{2} \right)}

            Por lo tanto, el resultado es: 16cos⁡(u2)16 \cos{\left(\frac{u}{2} \right)}

          Por lo tanto, el resultado es: −6u2cos⁡(u2)+24usin⁡(u2)+48cos⁡(u2)- 6 u^{2} \cos{\left(\frac{u}{2} \right)} + 24 u \sin{\left(\frac{u}{2} \right)} + 48 \cos{\left(\frac{u}{2} \right)}

        1. Usamos la integración por partes:

          ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

          que u(u)=uu{\left(u \right)} = u y que dv⁡(u)=sin⁡(u2)\operatorname{dv}{\left(u \right)} = \sin{\left(\frac{u}{2} \right)}.

          Entonces du⁡(u)=1\operatorname{du}{\left(u \right)} = 1.

          Para buscar v(u)v{\left(u \right)}:

          1. que u=u2u = \frac{u}{2}.

            Luego que du=du2du = \frac{du}{2} y ponemos 2du2 du:

            ∫2sin⁡(u) du\int 2 \sin{\left(u \right)}\, du

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              ∫sin⁡(u) du=2∫sin⁡(u) du\int \sin{\left(u \right)}\, du = 2 \int \sin{\left(u \right)}\, du

              1. La integral del seno es un coseno menos:

                ∫sin⁡(u) du=−cos⁡(u)\int \sin{\left(u \right)}\, du = - \cos{\left(u \right)}

              Por lo tanto, el resultado es: −2cos⁡(u)- 2 \cos{\left(u \right)}

            Si ahora sustituir uu más en:

            −2cos⁡(u2)- 2 \cos{\left(\frac{u}{2} \right)}

          Ahora resolvemos podintegral.

        2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫(−2cos⁡(u2)) du=−2∫cos⁡(u2) du\int \left(- 2 \cos{\left(\frac{u}{2} \right)}\right)\, du = - 2 \int \cos{\left(\frac{u}{2} \right)}\, du

          1. que u=u2u = \frac{u}{2}.

            Luego que du=du2du = \frac{du}{2} y ponemos 2du2 du:

            ∫2cos⁡(u) du\int 2 \cos{\left(u \right)}\, du

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              ∫cos⁡(u) du=2∫cos⁡(u) du\int \cos{\left(u \right)}\, du = 2 \int \cos{\left(u \right)}\, du

              1. La integral del coseno es seno:

                ∫cos⁡(u) du=sin⁡(u)\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}

              Por lo tanto, el resultado es: 2sin⁡(u)2 \sin{\left(u \right)}

            Si ahora sustituir uu más en:

            2sin⁡(u2)2 \sin{\left(\frac{u}{2} \right)}

          Por lo tanto, el resultado es: −4sin⁡(u2)- 4 \sin{\left(\frac{u}{2} \right)}

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫2sin⁡(u2) du=2∫sin⁡(u2) du\int 2 \sin{\left(\frac{u}{2} \right)}\, du = 2 \int \sin{\left(\frac{u}{2} \right)}\, du

          1. que u=u2u = \frac{u}{2}.

            Luego que du=du2du = \frac{du}{2} y ponemos 2du2 du:

            ∫2sin⁡(u) du\int 2 \sin{\left(u \right)}\, du

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              ∫sin⁡(u) du=2∫sin⁡(u) du\int \sin{\left(u \right)}\, du = 2 \int \sin{\left(u \right)}\, du

              1. La integral del seno es un coseno menos:

                ∫sin⁡(u) du=−cos⁡(u)\int \sin{\left(u \right)}\, du = - \cos{\left(u \right)}

              Por lo tanto, el resultado es: −2cos⁡(u)- 2 \cos{\left(u \right)}

            Si ahora sustituir uu más en:

            −2cos⁡(u2)- 2 \cos{\left(\frac{u}{2} \right)}

          Por lo tanto, el resultado es: −4cos⁡(u2)- 4 \cos{\left(\frac{u}{2} \right)}

        El resultado es: −6u2cos⁡(u2)+24usin⁡(u2)−2ucos⁡(u2)+4sin⁡(u2)+44cos⁡(u2)- 6 u^{2} \cos{\left(\frac{u}{2} \right)} + 24 u \sin{\left(\frac{u}{2} \right)} - 2 u \cos{\left(\frac{u}{2} \right)} + 4 \sin{\left(\frac{u}{2} \right)} + 44 \cos{\left(\frac{u}{2} \right)}

      Si ahora sustituir uu más en:

      −6x2cos⁡(x2)+24xsin⁡(x2)+2xcos⁡(x2)−4sin⁡(x2)+44cos⁡(x2)- 6 x^{2} \cos{\left(\frac{x}{2} \right)} + 24 x \sin{\left(\frac{x}{2} \right)} + 2 x \cos{\left(\frac{x}{2} \right)} - 4 \sin{\left(\frac{x}{2} \right)} + 44 \cos{\left(\frac{x}{2} \right)}

    Método #2

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      ((3x2−x)+2)sin⁡(x2)=3x2sin⁡(x2)−xsin⁡(x2)+2sin⁡(x2)\left(\left(3 x^{2} - x\right) + 2\right) \sin{\left(\frac{x}{2} \right)} = 3 x^{2} \sin{\left(\frac{x}{2} \right)} - x \sin{\left(\frac{x}{2} \right)} + 2 \sin{\left(\frac{x}{2} \right)}

    2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫3x2sin⁡(x2) dx=3∫x2sin⁡(x2) dx\int 3 x^{2} \sin{\left(\frac{x}{2} \right)}\, dx = 3 \int x^{2} \sin{\left(\frac{x}{2} \right)}\, dx

        1. Usamos la integración por partes:

          ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

          que u(x)=x2u{\left(x \right)} = x^{2} y que dv⁡(x)=sin⁡(x2)\operatorname{dv}{\left(x \right)} = \sin{\left(\frac{x}{2} \right)}.

          Entonces du⁡(x)=2x\operatorname{du}{\left(x \right)} = 2 x.

          Para buscar v(x)v{\left(x \right)}:

          1. que u=x2u = \frac{x}{2}.

            Luego que du=dx2du = \frac{dx}{2} y ponemos 2du2 du:

            ∫2sin⁡(u) du\int 2 \sin{\left(u \right)}\, du

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              ∫sin⁡(u) du=2∫sin⁡(u) du\int \sin{\left(u \right)}\, du = 2 \int \sin{\left(u \right)}\, du

              1. La integral del seno es un coseno menos:

                ∫sin⁡(u) du=−cos⁡(u)\int \sin{\left(u \right)}\, du = - \cos{\left(u \right)}

              Por lo tanto, el resultado es: −2cos⁡(u)- 2 \cos{\left(u \right)}

            Si ahora sustituir uu más en:

            −2cos⁡(x2)- 2 \cos{\left(\frac{x}{2} \right)}

          Ahora resolvemos podintegral.

        2. Usamos la integración por partes:

          ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

          que u(x)=−4xu{\left(x \right)} = - 4 x y que dv⁡(x)=cos⁡(x2)\operatorname{dv}{\left(x \right)} = \cos{\left(\frac{x}{2} \right)}.

          Entonces du⁡(x)=−4\operatorname{du}{\left(x \right)} = -4.

          Para buscar v(x)v{\left(x \right)}:

          1. que u=x2u = \frac{x}{2}.

            Luego que du=dx2du = \frac{dx}{2} y ponemos 2du2 du:

            ∫2cos⁡(u) du\int 2 \cos{\left(u \right)}\, du

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              ∫cos⁡(u) du=2∫cos⁡(u) du\int \cos{\left(u \right)}\, du = 2 \int \cos{\left(u \right)}\, du

              1. La integral del coseno es seno:

                ∫cos⁡(u) du=sin⁡(u)\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}

              Por lo tanto, el resultado es: 2sin⁡(u)2 \sin{\left(u \right)}

            Si ahora sustituir uu más en:

            2sin⁡(x2)2 \sin{\left(\frac{x}{2} \right)}

          Ahora resolvemos podintegral.

        3. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫(−8sin⁡(x2)) dx=−8∫sin⁡(x2) dx\int \left(- 8 \sin{\left(\frac{x}{2} \right)}\right)\, dx = - 8 \int \sin{\left(\frac{x}{2} \right)}\, dx

          1. que u=x2u = \frac{x}{2}.

            Luego que du=dx2du = \frac{dx}{2} y ponemos 2du2 du:

            ∫2sin⁡(u) du\int 2 \sin{\left(u \right)}\, du

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              ∫sin⁡(u) du=2∫sin⁡(u) du\int \sin{\left(u \right)}\, du = 2 \int \sin{\left(u \right)}\, du

              1. La integral del seno es un coseno menos:

                ∫sin⁡(u) du=−cos⁡(u)\int \sin{\left(u \right)}\, du = - \cos{\left(u \right)}

              Por lo tanto, el resultado es: −2cos⁡(u)- 2 \cos{\left(u \right)}

            Si ahora sustituir uu más en:

            −2cos⁡(x2)- 2 \cos{\left(\frac{x}{2} \right)}

          Por lo tanto, el resultado es: 16cos⁡(x2)16 \cos{\left(\frac{x}{2} \right)}

        Por lo tanto, el resultado es: −6x2cos⁡(x2)+24xsin⁡(x2)+48cos⁡(x2)- 6 x^{2} \cos{\left(\frac{x}{2} \right)} + 24 x \sin{\left(\frac{x}{2} \right)} + 48 \cos{\left(\frac{x}{2} \right)}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫(−xsin⁡(x2)) dx=−∫xsin⁡(x2) dx\int \left(- x \sin{\left(\frac{x}{2} \right)}\right)\, dx = - \int x \sin{\left(\frac{x}{2} \right)}\, dx

        1. Usamos la integración por partes:

          ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

          que u(x)=xu{\left(x \right)} = x y que dv⁡(x)=sin⁡(x2)\operatorname{dv}{\left(x \right)} = \sin{\left(\frac{x}{2} \right)}.

          Entonces du⁡(x)=1\operatorname{du}{\left(x \right)} = 1.

          Para buscar v(x)v{\left(x \right)}:

          1. que u=x2u = \frac{x}{2}.

            Luego que du=dx2du = \frac{dx}{2} y ponemos 2du2 du:

            ∫2sin⁡(u) du\int 2 \sin{\left(u \right)}\, du

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              ∫sin⁡(u) du=2∫sin⁡(u) du\int \sin{\left(u \right)}\, du = 2 \int \sin{\left(u \right)}\, du

              1. La integral del seno es un coseno menos:

                ∫sin⁡(u) du=−cos⁡(u)\int \sin{\left(u \right)}\, du = - \cos{\left(u \right)}

              Por lo tanto, el resultado es: −2cos⁡(u)- 2 \cos{\left(u \right)}

            Si ahora sustituir uu más en:

            −2cos⁡(x2)- 2 \cos{\left(\frac{x}{2} \right)}

          Ahora resolvemos podintegral.

        2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫(−2cos⁡(x2)) dx=−2∫cos⁡(x2) dx\int \left(- 2 \cos{\left(\frac{x}{2} \right)}\right)\, dx = - 2 \int \cos{\left(\frac{x}{2} \right)}\, dx

          1. que u=x2u = \frac{x}{2}.

            Luego que du=dx2du = \frac{dx}{2} y ponemos 2du2 du:

            ∫2cos⁡(u) du\int 2 \cos{\left(u \right)}\, du

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              ∫cos⁡(u) du=2∫cos⁡(u) du\int \cos{\left(u \right)}\, du = 2 \int \cos{\left(u \right)}\, du

              1. La integral del coseno es seno:

                ∫cos⁡(u) du=sin⁡(u)\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}

              Por lo tanto, el resultado es: 2sin⁡(u)2 \sin{\left(u \right)}

            Si ahora sustituir uu más en:

            2sin⁡(x2)2 \sin{\left(\frac{x}{2} \right)}

          Por lo tanto, el resultado es: −4sin⁡(x2)- 4 \sin{\left(\frac{x}{2} \right)}

        Por lo tanto, el resultado es: 2xcos⁡(x2)−4sin⁡(x2)2 x \cos{\left(\frac{x}{2} \right)} - 4 \sin{\left(\frac{x}{2} \right)}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫2sin⁡(x2) dx=2∫sin⁡(x2) dx\int 2 \sin{\left(\frac{x}{2} \right)}\, dx = 2 \int \sin{\left(\frac{x}{2} \right)}\, dx

        1. que u=x2u = \frac{x}{2}.

          Luego que du=dx2du = \frac{dx}{2} y ponemos 2du2 du:

          ∫2sin⁡(u) du\int 2 \sin{\left(u \right)}\, du

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫sin⁡(u) du=2∫sin⁡(u) du\int \sin{\left(u \right)}\, du = 2 \int \sin{\left(u \right)}\, du

            1. La integral del seno es un coseno menos:

              ∫sin⁡(u) du=−cos⁡(u)\int \sin{\left(u \right)}\, du = - \cos{\left(u \right)}

            Por lo tanto, el resultado es: −2cos⁡(u)- 2 \cos{\left(u \right)}

          Si ahora sustituir uu más en:

          −2cos⁡(x2)- 2 \cos{\left(\frac{x}{2} \right)}

        Por lo tanto, el resultado es: −4cos⁡(x2)- 4 \cos{\left(\frac{x}{2} \right)}

      El resultado es: −6x2cos⁡(x2)+24xsin⁡(x2)+2xcos⁡(x2)−4sin⁡(x2)+44cos⁡(x2)- 6 x^{2} \cos{\left(\frac{x}{2} \right)} + 24 x \sin{\left(\frac{x}{2} \right)} + 2 x \cos{\left(\frac{x}{2} \right)} - 4 \sin{\left(\frac{x}{2} \right)} + 44 \cos{\left(\frac{x}{2} \right)}

    Método #3

    1. Usamos la integración por partes:

      ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

      que u(x)=3x2−x+2u{\left(x \right)} = 3 x^{2} - x + 2 y que dv⁡(x)=sin⁡(x2)\operatorname{dv}{\left(x \right)} = \sin{\left(\frac{x}{2} \right)}.

      Entonces du⁡(x)=6x−1\operatorname{du}{\left(x \right)} = 6 x - 1.

      Para buscar v(x)v{\left(x \right)}:

      1. que u=x2u = \frac{x}{2}.

        Luego que du=dx2du = \frac{dx}{2} y ponemos 2du2 du:

        ∫2sin⁡(u) du\int 2 \sin{\left(u \right)}\, du

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫sin⁡(u) du=2∫sin⁡(u) du\int \sin{\left(u \right)}\, du = 2 \int \sin{\left(u \right)}\, du

          1. La integral del seno es un coseno menos:

            ∫sin⁡(u) du=−cos⁡(u)\int \sin{\left(u \right)}\, du = - \cos{\left(u \right)}

          Por lo tanto, el resultado es: −2cos⁡(u)- 2 \cos{\left(u \right)}

        Si ahora sustituir uu más en:

        −2cos⁡(x2)- 2 \cos{\left(\frac{x}{2} \right)}

      Ahora resolvemos podintegral.

    2. Usamos la integración por partes:

      ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

      que u(x)=2−12xu{\left(x \right)} = 2 - 12 x y que dv⁡(x)=cos⁡(x2)\operatorname{dv}{\left(x \right)} = \cos{\left(\frac{x}{2} \right)}.

      Entonces du⁡(x)=−12\operatorname{du}{\left(x \right)} = -12.

      Para buscar v(x)v{\left(x \right)}:

      1. que u=x2u = \frac{x}{2}.

        Luego que du=dx2du = \frac{dx}{2} y ponemos 2du2 du:

        ∫2cos⁡(u) du\int 2 \cos{\left(u \right)}\, du

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫cos⁡(u) du=2∫cos⁡(u) du\int \cos{\left(u \right)}\, du = 2 \int \cos{\left(u \right)}\, du

          1. La integral del coseno es seno:

            ∫cos⁡(u) du=sin⁡(u)\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}

          Por lo tanto, el resultado es: 2sin⁡(u)2 \sin{\left(u \right)}

        Si ahora sustituir uu más en:

        2sin⁡(x2)2 \sin{\left(\frac{x}{2} \right)}

      Ahora resolvemos podintegral.

    3. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      ∫(−24sin⁡(x2)) dx=−24∫sin⁡(x2) dx\int \left(- 24 \sin{\left(\frac{x}{2} \right)}\right)\, dx = - 24 \int \sin{\left(\frac{x}{2} \right)}\, dx

      1. que u=x2u = \frac{x}{2}.

        Luego que du=dx2du = \frac{dx}{2} y ponemos 2du2 du:

        ∫2sin⁡(u) du\int 2 \sin{\left(u \right)}\, du

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫sin⁡(u) du=2∫sin⁡(u) du\int \sin{\left(u \right)}\, du = 2 \int \sin{\left(u \right)}\, du

          1. La integral del seno es un coseno menos:

            ∫sin⁡(u) du=−cos⁡(u)\int \sin{\left(u \right)}\, du = - \cos{\left(u \right)}

          Por lo tanto, el resultado es: −2cos⁡(u)- 2 \cos{\left(u \right)}

        Si ahora sustituir uu más en:

        −2cos⁡(x2)- 2 \cos{\left(\frac{x}{2} \right)}

      Por lo tanto, el resultado es: 48cos⁡(x2)48 \cos{\left(\frac{x}{2} \right)}

    Método #4

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      ((3x2−x)+2)sin⁡(x2)=3x2sin⁡(x2)−xsin⁡(x2)+2sin⁡(x2)\left(\left(3 x^{2} - x\right) + 2\right) \sin{\left(\frac{x}{2} \right)} = 3 x^{2} \sin{\left(\frac{x}{2} \right)} - x \sin{\left(\frac{x}{2} \right)} + 2 \sin{\left(\frac{x}{2} \right)}

    2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫3x2sin⁡(x2) dx=3∫x2sin⁡(x2) dx\int 3 x^{2} \sin{\left(\frac{x}{2} \right)}\, dx = 3 \int x^{2} \sin{\left(\frac{x}{2} \right)}\, dx

        1. Usamos la integración por partes:

          ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

          que u(x)=x2u{\left(x \right)} = x^{2} y que dv⁡(x)=sin⁡(x2)\operatorname{dv}{\left(x \right)} = \sin{\left(\frac{x}{2} \right)}.

          Entonces du⁡(x)=2x\operatorname{du}{\left(x \right)} = 2 x.

          Para buscar v(x)v{\left(x \right)}:

          1. que u=x2u = \frac{x}{2}.

            Luego que du=dx2du = \frac{dx}{2} y ponemos 2du2 du:

            ∫2sin⁡(u) du\int 2 \sin{\left(u \right)}\, du

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              ∫sin⁡(u) du=2∫sin⁡(u) du\int \sin{\left(u \right)}\, du = 2 \int \sin{\left(u \right)}\, du

              1. La integral del seno es un coseno menos:

                ∫sin⁡(u) du=−cos⁡(u)\int \sin{\left(u \right)}\, du = - \cos{\left(u \right)}

              Por lo tanto, el resultado es: −2cos⁡(u)- 2 \cos{\left(u \right)}

            Si ahora sustituir uu más en:

            −2cos⁡(x2)- 2 \cos{\left(\frac{x}{2} \right)}

          Ahora resolvemos podintegral.

        2. Usamos la integración por partes:

          ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

          que u(x)=−4xu{\left(x \right)} = - 4 x y que dv⁡(x)=cos⁡(x2)\operatorname{dv}{\left(x \right)} = \cos{\left(\frac{x}{2} \right)}.

          Entonces du⁡(x)=−4\operatorname{du}{\left(x \right)} = -4.

          Para buscar v(x)v{\left(x \right)}:

          1. que u=x2u = \frac{x}{2}.

            Luego que du=dx2du = \frac{dx}{2} y ponemos 2du2 du:

            ∫2cos⁡(u) du\int 2 \cos{\left(u \right)}\, du

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              ∫cos⁡(u) du=2∫cos⁡(u) du\int \cos{\left(u \right)}\, du = 2 \int \cos{\left(u \right)}\, du

              1. La integral del coseno es seno:

                ∫cos⁡(u) du=sin⁡(u)\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}

              Por lo tanto, el resultado es: 2sin⁡(u)2 \sin{\left(u \right)}

            Si ahora sustituir uu más en:

            2sin⁡(x2)2 \sin{\left(\frac{x}{2} \right)}

          Ahora resolvemos podintegral.

        3. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫(−8sin⁡(x2)) dx=−8∫sin⁡(x2) dx\int \left(- 8 \sin{\left(\frac{x}{2} \right)}\right)\, dx = - 8 \int \sin{\left(\frac{x}{2} \right)}\, dx

          1. que u=x2u = \frac{x}{2}.

            Luego que du=dx2du = \frac{dx}{2} y ponemos 2du2 du:

            ∫2sin⁡(u) du\int 2 \sin{\left(u \right)}\, du

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              ∫sin⁡(u) du=2∫sin⁡(u) du\int \sin{\left(u \right)}\, du = 2 \int \sin{\left(u \right)}\, du

              1. La integral del seno es un coseno menos:

                ∫sin⁡(u) du=−cos⁡(u)\int \sin{\left(u \right)}\, du = - \cos{\left(u \right)}

              Por lo tanto, el resultado es: −2cos⁡(u)- 2 \cos{\left(u \right)}

            Si ahora sustituir uu más en:

            −2cos⁡(x2)- 2 \cos{\left(\frac{x}{2} \right)}

          Por lo tanto, el resultado es: 16cos⁡(x2)16 \cos{\left(\frac{x}{2} \right)}

        Por lo tanto, el resultado es: −6x2cos⁡(x2)+24xsin⁡(x2)+48cos⁡(x2)- 6 x^{2} \cos{\left(\frac{x}{2} \right)} + 24 x \sin{\left(\frac{x}{2} \right)} + 48 \cos{\left(\frac{x}{2} \right)}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫(−xsin⁡(x2)) dx=−∫xsin⁡(x2) dx\int \left(- x \sin{\left(\frac{x}{2} \right)}\right)\, dx = - \int x \sin{\left(\frac{x}{2} \right)}\, dx

        1. Usamos la integración por partes:

          ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

          que u(x)=xu{\left(x \right)} = x y que dv⁡(x)=sin⁡(x2)\operatorname{dv}{\left(x \right)} = \sin{\left(\frac{x}{2} \right)}.

          Entonces du⁡(x)=1\operatorname{du}{\left(x \right)} = 1.

          Para buscar v(x)v{\left(x \right)}:

          1. que u=x2u = \frac{x}{2}.

            Luego que du=dx2du = \frac{dx}{2} y ponemos 2du2 du:

            ∫2sin⁡(u) du\int 2 \sin{\left(u \right)}\, du

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              ∫sin⁡(u) du=2∫sin⁡(u) du\int \sin{\left(u \right)}\, du = 2 \int \sin{\left(u \right)}\, du

              1. La integral del seno es un coseno menos:

                ∫sin⁡(u) du=−cos⁡(u)\int \sin{\left(u \right)}\, du = - \cos{\left(u \right)}

              Por lo tanto, el resultado es: −2cos⁡(u)- 2 \cos{\left(u \right)}

            Si ahora sustituir uu más en:

            −2cos⁡(x2)- 2 \cos{\left(\frac{x}{2} \right)}

          Ahora resolvemos podintegral.

        2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫(−2cos⁡(x2)) dx=−2∫cos⁡(x2) dx\int \left(- 2 \cos{\left(\frac{x}{2} \right)}\right)\, dx = - 2 \int \cos{\left(\frac{x}{2} \right)}\, dx

          1. que u=x2u = \frac{x}{2}.

            Luego que du=dx2du = \frac{dx}{2} y ponemos 2du2 du:

            ∫2cos⁡(u) du\int 2 \cos{\left(u \right)}\, du

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              ∫cos⁡(u) du=2∫cos⁡(u) du\int \cos{\left(u \right)}\, du = 2 \int \cos{\left(u \right)}\, du

              1. La integral del coseno es seno:

                ∫cos⁡(u) du=sin⁡(u)\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}

              Por lo tanto, el resultado es: 2sin⁡(u)2 \sin{\left(u \right)}

            Si ahora sustituir uu más en:

            2sin⁡(x2)2 \sin{\left(\frac{x}{2} \right)}

          Por lo tanto, el resultado es: −4sin⁡(x2)- 4 \sin{\left(\frac{x}{2} \right)}

        Por lo tanto, el resultado es: 2xcos⁡(x2)−4sin⁡(x2)2 x \cos{\left(\frac{x}{2} \right)} - 4 \sin{\left(\frac{x}{2} \right)}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫2sin⁡(x2) dx=2∫sin⁡(x2) dx\int 2 \sin{\left(\frac{x}{2} \right)}\, dx = 2 \int \sin{\left(\frac{x}{2} \right)}\, dx

        1. que u=x2u = \frac{x}{2}.

          Luego que du=dx2du = \frac{dx}{2} y ponemos 2du2 du:

          ∫2sin⁡(u) du\int 2 \sin{\left(u \right)}\, du

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫sin⁡(u) du=2∫sin⁡(u) du\int \sin{\left(u \right)}\, du = 2 \int \sin{\left(u \right)}\, du

            1. La integral del seno es un coseno menos:

              ∫sin⁡(u) du=−cos⁡(u)\int \sin{\left(u \right)}\, du = - \cos{\left(u \right)}

            Por lo tanto, el resultado es: −2cos⁡(u)- 2 \cos{\left(u \right)}

          Si ahora sustituir uu más en:

          −2cos⁡(x2)- 2 \cos{\left(\frac{x}{2} \right)}

        Por lo tanto, el resultado es: −4cos⁡(x2)- 4 \cos{\left(\frac{x}{2} \right)}

      El resultado es: −6x2cos⁡(x2)+24xsin⁡(x2)+2xcos⁡(x2)−4sin⁡(x2)+44cos⁡(x2)- 6 x^{2} \cos{\left(\frac{x}{2} \right)} + 24 x \sin{\left(\frac{x}{2} \right)} + 2 x \cos{\left(\frac{x}{2} \right)} - 4 \sin{\left(\frac{x}{2} \right)} + 44 \cos{\left(\frac{x}{2} \right)}

  2. Añadimos la constante de integración:

    −6x2cos⁡(x2)+24xsin⁡(x2)+2xcos⁡(x2)−4sin⁡(x2)+44cos⁡(x2)+constant- 6 x^{2} \cos{\left(\frac{x}{2} \right)} + 24 x \sin{\left(\frac{x}{2} \right)} + 2 x \cos{\left(\frac{x}{2} \right)} - 4 \sin{\left(\frac{x}{2} \right)} + 44 \cos{\left(\frac{x}{2} \right)}+ \mathrm{constant}

Respuesta:

−6x2cos⁡(x2)+24xsin⁡(x2)+2xcos⁡(x2)−4sin⁡(x2)+44cos⁡(x2)+constant- 6 x^{2} \cos{\left(\frac{x}{2} \right)} + 24 x \sin{\left(\frac{x}{2} \right)} + 2 x \cos{\left(\frac{x}{2} \right)} - 4 \sin{\left(\frac{x}{2} \right)} + 44 \cos{\left(\frac{x}{2} \right)}+ \mathrm{constant}

Respuesta (Indefinida) [src] 
  /                                                                                            
 |                                                                                             
 | /   2        \    /x\               /x\         /x\      2    /x\          /x\           /x\
 | \3*x  - x + 2/*sin|-| dx = C - 4*sin|-| + 44*cos|-| - 6*x *cos|-| + 2*x*cos|-| + 24*x*sin|-|
 |                   \2/               \2/         \2/           \2/          \2/           \2/
 |                                                                                             
/
∫((3x2−x)+2)sin⁡(x2) dx=C−6x2cos⁡(x2)+24xsin⁡(x2)+2xcos⁡(x2)−4sin⁡(x2)+44cos⁡(x2)\int \left(\left(3 x^{2} - x\right) + 2\right) \sin{\left(\frac{x}{2} \right)}\, dx = C - 6 x^{2} \cos{\left(\frac{x}{2} \right)} + 24 x \sin{\left(\frac{x}{2} \right)} + 2 x \cos{\left(\frac{x}{2} \right)} - 4 \sin{\left(\frac{x}{2} \right)} + 44 \cos{\left(\frac{x}{2} \right)}
Simplificar
Gráfica
0.001.000.100.200.300.400.500.600.700.800.90050
Trazar el gráfico f(x)
Respuesta [src] 
-44 + 20*sin(1/2) + 40*cos(1/2)
−44+20sin⁡(12)+40cos⁡(12)-44 + 20 \sin{\left(\frac{1}{2} \right)} + 40 \cos{\left(\frac{1}{2} \right)} 
=
= 
-44 + 20*sin(1/2) + 40*cos(1/2)
−44+20sin⁡(12)+40cos⁡(12)-44 + 20 \sin{\left(\frac{1}{2} \right)} + 40 \cos{\left(\frac{1}{2} \right)} 
-44 + 20*sin(1/2) + 40*cos(1/2)
Respuesta numérica [src] 
0.691813247698969
0.691813247698969

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.

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