Integral de cos^5x dx

Solución

Ha introducido [src]

 pi           
 --           
 2            
  /           
 |            
 |     5      
 |  cos (x) dx
 |            
/             
0

$$\int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos^{5}{\left(x \right)}\, dx$$

Integral(cos(x)^5, (x, 0, pi/2))

Solución detallada

Vuelva a escribir el integrando:

$\cos^{5}{\left(x \right)} = \left(1 - \sin^{2}{\left(x \right)}\right)^{2} \cos{\left(x \right)}$
Hay varias maneras de calcular esta integral.
Método #1
1. Vuelva a escribir el integrando:
  
  $\left(1 - \sin^{2}{\left(x \right)}\right)^{2} \cos{\left(x \right)} = \sin^{4}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} - 2 \sin^{2}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)}$
2. Integramos término a término:
  1. que $u = \sin{\left(x \right)}$ .
    
    Luego que $du = \cos{\left(x \right)} dx$ y ponemos $du$ :
    
    $\int u^{4}\, du$
    1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$ :
      
      $\int u^{4}\, du = \frac{u^{5}}{5}$
    Si ahora sustituir $u$ más en:
    
    $\frac{\sin^{5}{\left(x \right)}}{5}$
  1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
    
    $\int \left(- 2 \sin^{2}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\right)\, dx = - 2 \int \sin^{2}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\, dx$
    1. que $u = \sin{\left(x \right)}$ .
      
      Luego que $du = \cos{\left(x \right)} dx$ y ponemos $du$ :
      
      $\int u^{2}\, du$
      
      Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$ :
      
      $\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}$
      
      Si ahora sustituir $u$ más en:
      
      $\frac{\sin^{3}{\left(x \right)}}{3}$
    Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{2 \sin^{3}{\left(x \right)}}{3}$
  1. La integral del coseno es seno:
    
    $\int \cos{\left(x \right)}\, dx = \sin{\left(x \right)}$
  El resultado es: $\frac{\sin^{5}{\left(x \right)}}{5} - \frac{2 \sin^{3}{\left(x \right)}}{3} + \sin{\left(x \right)}$
Método #2
1. Vuelva a escribir el integrando:
  
  $\left(1 - \sin^{2}{\left(x \right)}\right)^{2} \cos{\left(x \right)} = \sin^{4}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} - 2 \sin^{2}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)}$
2. Integramos término a término:
  1. que $u = \sin{\left(x \right)}$ .
    
    Luego que $du = \cos{\left(x \right)} dx$ y ponemos $du$ :
    
    $\int u^{4}\, du$
    1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$ :
      
      $\int u^{4}\, du = \frac{u^{5}}{5}$
    Si ahora sustituir $u$ más en:
    
    $\frac{\sin^{5}{\left(x \right)}}{5}$
  1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
    
    $\int \left(- 2 \sin^{2}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\right)\, dx = - 2 \int \sin^{2}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\, dx$
    1. que $u = \sin{\left(x \right)}$ .
      
      Luego que $du = \cos{\left(x \right)} dx$ y ponemos $du$ :
      
      $\int u^{2}\, du$
      
      Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$ :
      
      $\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}$
      
      Si ahora sustituir $u$ más en:
      
      $\frac{\sin^{3}{\left(x \right)}}{3}$
    Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{2 \sin^{3}{\left(x \right)}}{3}$
  1. La integral del coseno es seno:
    
    $\int \cos{\left(x \right)}\, dx = \sin{\left(x \right)}$
  El resultado es: $\frac{\sin^{5}{\left(x \right)}}{5} - \frac{2 \sin^{3}{\left(x \right)}}{3} + \sin{\left(x \right)}$
Añadimos la constante de integración:

$\frac{\sin^{5}{\left(x \right)}}{5} - \frac{2 \sin^{3}{\left(x \right)}}{3} + \sin{\left(x \right)}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{\sin^{5}{\left(x \right)}}{5} - \frac{2 \sin^{3}{\left(x \right)}}{3} + \sin{\left(x \right)}+ \mathrm{constant}$

Respuesta (Indefinida) [src]

  /                                             
 |                       3         5            
 |    5             2*sin (x)   sin (x)         
 | cos (x) dx = C - --------- + ------- + sin(x)
 |                      3          5            
/

$$\int \cos^{5}{\left(x \right)}\, dx = C + \frac{\sin^{5}{\left(x \right)}}{5} - \frac{2 \sin^{3}{\left(x \right)}}{3} + \sin{\left(x \right)}$$

Simplificar

Gráfica

Trazar el gráfico f(x)

Respuesta [src]

8/15

$$\frac{8}{15}$$

8/15

$$\frac{8}{15}$$

8/15

Respuesta numérica [src]

0.533333333333333

0.533333333333333

Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.

Otras calculadoras

¿Cómo usar?

Expresiones idénticas

Expresiones con funciones

Integral de cos^5x dx

Límites de integración:

Gráfico:

Definida a trozos:

Solución

Método #1

Método #2