Sr Examen

Integral de cos^5x dx

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src]
 pi           
 --           
 2            
  /           
 |            
 |     5      
 |  cos (x) dx
 |            
/             
0             
0π2cos5(x)dx\int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos^{5}{\left(x \right)}\, dx
Integral(cos(x)^5, (x, 0, pi/2))
Solución detallada
  1. Vuelva a escribir el integrando:

    cos5(x)=(1sin2(x))2cos(x)\cos^{5}{\left(x \right)} = \left(1 - \sin^{2}{\left(x \right)}\right)^{2} \cos{\left(x \right)}

  2. Hay varias maneras de calcular esta integral.

    Método #1

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      (1sin2(x))2cos(x)=sin4(x)cos(x)2sin2(x)cos(x)+cos(x)\left(1 - \sin^{2}{\left(x \right)}\right)^{2} \cos{\left(x \right)} = \sin^{4}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} - 2 \sin^{2}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)}

    2. Integramos término a término:

      1. que u=sin(x)u = \sin{\left(x \right)}.

        Luego que du=cos(x)dxdu = \cos{\left(x \right)} dx y ponemos dudu:

        u4du\int u^{4}\, du

        1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n1n \neq -1:

          u4du=u55\int u^{4}\, du = \frac{u^{5}}{5}

        Si ahora sustituir uu más en:

        sin5(x)5\frac{\sin^{5}{\left(x \right)}}{5}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        (2sin2(x)cos(x))dx=2sin2(x)cos(x)dx\int \left(- 2 \sin^{2}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\right)\, dx = - 2 \int \sin^{2}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\, dx

        1. que u=sin(x)u = \sin{\left(x \right)}.

          Luego que du=cos(x)dxdu = \cos{\left(x \right)} dx y ponemos dudu:

          u2du\int u^{2}\, du

          1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n1n \neq -1:

            u2du=u33\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}

          Si ahora sustituir uu más en:

          sin3(x)3\frac{\sin^{3}{\left(x \right)}}{3}

        Por lo tanto, el resultado es: 2sin3(x)3- \frac{2 \sin^{3}{\left(x \right)}}{3}

      1. La integral del coseno es seno:

        cos(x)dx=sin(x)\int \cos{\left(x \right)}\, dx = \sin{\left(x \right)}

      El resultado es: sin5(x)52sin3(x)3+sin(x)\frac{\sin^{5}{\left(x \right)}}{5} - \frac{2 \sin^{3}{\left(x \right)}}{3} + \sin{\left(x \right)}

    Método #2

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      (1sin2(x))2cos(x)=sin4(x)cos(x)2sin2(x)cos(x)+cos(x)\left(1 - \sin^{2}{\left(x \right)}\right)^{2} \cos{\left(x \right)} = \sin^{4}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} - 2 \sin^{2}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)}

    2. Integramos término a término:

      1. que u=sin(x)u = \sin{\left(x \right)}.

        Luego que du=cos(x)dxdu = \cos{\left(x \right)} dx y ponemos dudu:

        u4du\int u^{4}\, du

        1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n1n \neq -1:

          u4du=u55\int u^{4}\, du = \frac{u^{5}}{5}

        Si ahora sustituir uu más en:

        sin5(x)5\frac{\sin^{5}{\left(x \right)}}{5}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        (2sin2(x)cos(x))dx=2sin2(x)cos(x)dx\int \left(- 2 \sin^{2}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\right)\, dx = - 2 \int \sin^{2}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\, dx

        1. que u=sin(x)u = \sin{\left(x \right)}.

          Luego que du=cos(x)dxdu = \cos{\left(x \right)} dx y ponemos dudu:

          u2du\int u^{2}\, du

          1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n1n \neq -1:

            u2du=u33\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}

          Si ahora sustituir uu más en:

          sin3(x)3\frac{\sin^{3}{\left(x \right)}}{3}

        Por lo tanto, el resultado es: 2sin3(x)3- \frac{2 \sin^{3}{\left(x \right)}}{3}

      1. La integral del coseno es seno:

        cos(x)dx=sin(x)\int \cos{\left(x \right)}\, dx = \sin{\left(x \right)}

      El resultado es: sin5(x)52sin3(x)3+sin(x)\frac{\sin^{5}{\left(x \right)}}{5} - \frac{2 \sin^{3}{\left(x \right)}}{3} + \sin{\left(x \right)}

  3. Añadimos la constante de integración:

    sin5(x)52sin3(x)3+sin(x)+constant\frac{\sin^{5}{\left(x \right)}}{5} - \frac{2 \sin^{3}{\left(x \right)}}{3} + \sin{\left(x \right)}+ \mathrm{constant}


Respuesta:

sin5(x)52sin3(x)3+sin(x)+constant\frac{\sin^{5}{\left(x \right)}}{5} - \frac{2 \sin^{3}{\left(x \right)}}{3} + \sin{\left(x \right)}+ \mathrm{constant}

Respuesta (Indefinida) [src]
  /                                             
 |                       3         5            
 |    5             2*sin (x)   sin (x)         
 | cos (x) dx = C - --------- + ------- + sin(x)
 |                      3          5            
/                                               
cos5(x)dx=C+sin5(x)52sin3(x)3+sin(x)\int \cos^{5}{\left(x \right)}\, dx = C + \frac{\sin^{5}{\left(x \right)}}{5} - \frac{2 \sin^{3}{\left(x \right)}}{3} + \sin{\left(x \right)}
Gráfica
0.00.10.20.30.40.50.60.70.80.91.01.11.21.31.41.502
Respuesta [src]
8/15
815\frac{8}{15}
=
=
8/15
815\frac{8}{15}
8/15
Respuesta numérica [src]
0.533333333333333
0.533333333333333

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.