Integral de (7-6*x^2)^5*2*x*dx dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. que $u = 7 - 6 x^{2}$.

      Luego que $du = - 12 x dx$ y ponemos $- \frac{du}{6}$:

      $\int \left(- \frac{u^{5}}{6}\right)\, du$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int u^{5}\, du = - \frac{\int u^{5}\, du}{6}$

         1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int u^{5}\, du = \frac{u^{6}}{6}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{u^{6}}{36}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $- \frac{\left(7 - 6 x^{2}\right)^{6}}{36}$

   Método #2

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $x 2 \left(7 - 6 x^{2}\right)^{5} = - 15552 x^{11} + 90720 x^{9} - 211680 x^{7} + 246960 x^{5} - 144060 x^{3} + 33614 x$

   2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- 15552 x^{11}\right)\, dx = - 15552 \int x^{11}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{11}\, dx = \frac{x^{12}}{12}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- 1296 x^{12}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 90720 x^{9}\, dx = 90720 \int x^{9}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{9}\, dx = \frac{x^{10}}{10}$

         Por lo tanto, el resultado es: $9072 x^{10}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- 211680 x^{7}\right)\, dx = - 211680 \int x^{7}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{7}\, dx = \frac{x^{8}}{8}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- 26460 x^{8}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 246960 x^{5}\, dx = 246960 \int x^{5}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{5}\, dx = \frac{x^{6}}{6}$

         Por lo tanto, el resultado es: $41160 x^{6}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- 144060 x^{3}\right)\, dx = - 144060 \int x^{3}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{3}\, dx = \frac{x^{4}}{4}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- 36015 x^{4}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 33614 x\, dx = 33614 \int x\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$

         Por lo tanto, el resultado es: $16807 x^{2}$

      El resultado es: $- 1296 x^{12} + 9072 x^{10} - 26460 x^{8} + 41160 x^{6} - 36015 x^{4} + 16807 x^{2}$

2. Ahora simplificar:

   $- \frac{\left(6 x^{2} - 7\right)^{6}}{36}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $- \frac{\left(6 x^{2} - 7\right)^{6}}{36}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$- \frac{\left(6 x^{2} - 7\right)^{6}}{36}+ \mathrm{constant}$