Sr Examen

Lang:

Otras calculadoras

¿Cómo usar?
Integral de d{x}:
Integral de 1/(y+y^3)
Integral de 1/4x+3
Integral de (1-2*x)*exp(-2*x)
Integral de (1-2*x)/x^2
Expresiones idénticas
(sin(t/ dos))^ cinco
( seno de (t dividir por 2)) en el grado 5
( seno de (t dividir por dos)) en el grado cinco
(sin(t/2))5
sint/25
(sin(t/2))⁵
sint/2^5
(sin(t dividir por 2))^5
Expresiones con funciones
Seno sin
sin(x)e^x
sin(x)*dx/(cos(x)+1)
sin(xdx)/cbrt(3+2*cos(x))
sin(x)*dx/(2+sin(x))
sin(x)cos(x)/(sin(x)+cos(x))dx

Resolución de integrales/ sin(t/2)/ (sin(t/2))^5

Integral de (sin(t/2))^5 dt

Solución

Ha introducido [src]

 2*pi          
   /           
  |            
  |     5/t\   
  |  sin |-| dt
  |      \2/   
  |            
 /             
 0

$$\int\limits_{0}^{2 \pi} \sin^{5}{\left(\frac{t}{2} \right)}\, dt$$

Integral(sin(t/2)^5, (t, 0, 2*pi))

Solución detallada

Vuelva a escribir el integrando:

$\sin^{5}{\left(\frac{t}{2} \right)} = \left(1 - \cos^{2}{\left(\frac{t}{2} \right)}\right)^{2} \sin{\left(\frac{t}{2} \right)}$
Hay varias maneras de calcular esta integral.
Método #1
1. que $u = \frac{t}{2}$ .
  
  Luego que $du = \frac{dt}{2}$ y ponemos $du$ :
  
  $\int \left(2 \sin{\left(u \right)} \cos^{4}{\left(u \right)} - 4 \sin{\left(u \right)} \cos^{2}{\left(u \right)} + 2 \sin{\left(u \right)}\right)\, du$
  1. Integramos término a término:
    1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
      
      $\int 2 \sin{\left(u \right)} \cos^{4}{\left(u \right)}\, du = 2 \int \sin{\left(u \right)} \cos^{4}{\left(u \right)}\, du$
      
      que $u = \cos{\left(u \right)}$ .
      
      Luego que $du = - \sin{\left(u \right)} du$ y ponemos $- du$ :
      
      $\int \left(- u^{4}\right)\, du$
      
      La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
      
      $\int u^{4}\, du = - \int u^{4}\, du$
      
      Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$ :
      
      $\int u^{4}\, du = \frac{u^{5}}{5}$
      
      Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{u^{5}}{5}$
      
      Si ahora sustituir $u$ más en:
      
      $- \frac{\cos^{5}{\left(u \right)}}{5}$
      
      Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{2 \cos^{5}{\left(u \right)}}{5}$
    1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
      
      $\int \left(- 4 \sin{\left(u \right)} \cos^{2}{\left(u \right)}\right)\, du = - 4 \int \sin{\left(u \right)} \cos^{2}{\left(u \right)}\, du$
      
      que $u = \cos{\left(u \right)}$ .
      
      Luego que $du = - \sin{\left(u \right)} du$ y ponemos $- du$ :
      
      $\int \left(- u^{2}\right)\, du$
      
      La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
      
      $\int u^{2}\, du = - \int u^{2}\, du$
      
      Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$ :
      
      $\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}$
      
      Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{u^{3}}{3}$
      
      Si ahora sustituir $u$ más en:
      
      $- \frac{\cos^{3}{\left(u \right)}}{3}$
      
      Por lo tanto, el resultado es: $\frac{4 \cos^{3}{\left(u \right)}}{3}$
    1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
      
      $\int 2 \sin{\left(u \right)}\, du = 2 \int \sin{\left(u \right)}\, du$
      
      La integral del seno es un coseno menos:
      
      $\int \sin{\left(u \right)}\, du = - \cos{\left(u \right)}$
      
      Por lo tanto, el resultado es: $- 2 \cos{\left(u \right)}$
    El resultado es: $- \frac{2 \cos^{5}{\left(u \right)}}{5} + \frac{4 \cos^{3}{\left(u \right)}}{3} - 2 \cos{\left(u \right)}$
  Si ahora sustituir $u$ más en:
  
  $- \frac{2 \cos^{5}{\left(\frac{t}{2} \right)}}{5} + \frac{4 \cos^{3}{\left(\frac{t}{2} \right)}}{3} - 2 \cos{\left(\frac{t}{2} \right)}$
Método #2
1. Vuelva a escribir el integrando:
  
  $\left(1 - \cos^{2}{\left(\frac{t}{2} \right)}\right)^{2} \sin{\left(\frac{t}{2} \right)} = \sin{\left(\frac{t}{2} \right)} \cos^{4}{\left(\frac{t}{2} \right)} - 2 \sin{\left(\frac{t}{2} \right)} \cos^{2}{\left(\frac{t}{2} \right)} + \sin{\left(\frac{t}{2} \right)}$
2. Integramos término a término:
  1. que $u = \cos{\left(\frac{t}{2} \right)}$ .
    
    Luego que $du = - \frac{\sin{\left(\frac{t}{2} \right)} dt}{2}$ y ponemos $- 2 du$ :
    
    $\int \left(- 2 u^{4}\right)\, du$
    1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
      
      $\int u^{4}\, du = - 2 \int u^{4}\, du$
      
      Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$ :
      
      $\int u^{4}\, du = \frac{u^{5}}{5}$
      
      Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{2 u^{5}}{5}$
    Si ahora sustituir $u$ más en:
    
    $- \frac{2 \cos^{5}{\left(\frac{t}{2} \right)}}{5}$
  1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
    
    $\int \left(- 2 \sin{\left(\frac{t}{2} \right)} \cos^{2}{\left(\frac{t}{2} \right)}\right)\, dt = - 2 \int \sin{\left(\frac{t}{2} \right)} \cos^{2}{\left(\frac{t}{2} \right)}\, dt$
    1. que $u = \cos{\left(\frac{t}{2} \right)}$ .
      
      Luego que $du = - \frac{\sin{\left(\frac{t}{2} \right)} dt}{2}$ y ponemos $- 2 du$ :
      
      $\int \left(- 2 u^{2}\right)\, du$
      
      La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
      
      $\int u^{2}\, du = - 2 \int u^{2}\, du$
      
      Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$ :
      
      $\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}$
      
      Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{2 u^{3}}{3}$
      
      Si ahora sustituir $u$ más en:
      
      $- \frac{2 \cos^{3}{\left(\frac{t}{2} \right)}}{3}$
    Por lo tanto, el resultado es: $\frac{4 \cos^{3}{\left(\frac{t}{2} \right)}}{3}$
  1. que $u = \frac{t}{2}$ .
    
    Luego que $du = \frac{dt}{2}$ y ponemos $2 du$ :
    
    $\int 2 \sin{\left(u \right)}\, du$
    1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
      
      $\int \sin{\left(u \right)}\, du = 2 \int \sin{\left(u \right)}\, du$
      
      La integral del seno es un coseno menos:
      
      $\int \sin{\left(u \right)}\, du = - \cos{\left(u \right)}$
      
      Por lo tanto, el resultado es: $- 2 \cos{\left(u \right)}$
    Si ahora sustituir $u$ más en:
    
    $- 2 \cos{\left(\frac{t}{2} \right)}$
  El resultado es: $- \frac{2 \cos^{5}{\left(\frac{t}{2} \right)}}{5} + \frac{4 \cos^{3}{\left(\frac{t}{2} \right)}}{3} - 2 \cos{\left(\frac{t}{2} \right)}$
Método #3
1. Vuelva a escribir el integrando:
  
  $\left(1 - \cos^{2}{\left(\frac{t}{2} \right)}\right)^{2} \sin{\left(\frac{t}{2} \right)} = \sin{\left(\frac{t}{2} \right)} \cos^{4}{\left(\frac{t}{2} \right)} - 2 \sin{\left(\frac{t}{2} \right)} \cos^{2}{\left(\frac{t}{2} \right)} + \sin{\left(\frac{t}{2} \right)}$
2. Integramos término a término:
  1. que $u = \cos{\left(\frac{t}{2} \right)}$ .
    
    Luego que $du = - \frac{\sin{\left(\frac{t}{2} \right)} dt}{2}$ y ponemos $- 2 du$ :
    
    $\int \left(- 2 u^{4}\right)\, du$
    1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
      
      $\int u^{4}\, du = - 2 \int u^{4}\, du$
      
      Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$ :
      
      $\int u^{4}\, du = \frac{u^{5}}{5}$
      
      Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{2 u^{5}}{5}$
    Si ahora sustituir $u$ más en:
    
    $- \frac{2 \cos^{5}{\left(\frac{t}{2} \right)}}{5}$
  1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
    
    $\int \left(- 2 \sin{\left(\frac{t}{2} \right)} \cos^{2}{\left(\frac{t}{2} \right)}\right)\, dt = - 2 \int \sin{\left(\frac{t}{2} \right)} \cos^{2}{\left(\frac{t}{2} \right)}\, dt$
    1. que $u = \cos{\left(\frac{t}{2} \right)}$ .
      
      Luego que $du = - \frac{\sin{\left(\frac{t}{2} \right)} dt}{2}$ y ponemos $- 2 du$ :
      
      $\int \left(- 2 u^{2}\right)\, du$
      
      La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
      
      $\int u^{2}\, du = - 2 \int u^{2}\, du$
      
      Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$ :
      
      $\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}$
      
      Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{2 u^{3}}{3}$
      
      Si ahora sustituir $u$ más en:
      
      $- \frac{2 \cos^{3}{\left(\frac{t}{2} \right)}}{3}$
    Por lo tanto, el resultado es: $\frac{4 \cos^{3}{\left(\frac{t}{2} \right)}}{3}$
  1. que $u = \frac{t}{2}$ .
    
    Luego que $du = \frac{dt}{2}$ y ponemos $2 du$ :
    
    $\int 2 \sin{\left(u \right)}\, du$
    1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
      
      $\int \sin{\left(u \right)}\, du = 2 \int \sin{\left(u \right)}\, du$
      
      La integral del seno es un coseno menos:
      
      $\int \sin{\left(u \right)}\, du = - \cos{\left(u \right)}$
      
      Por lo tanto, el resultado es: $- 2 \cos{\left(u \right)}$
    Si ahora sustituir $u$ más en:
    
    $- 2 \cos{\left(\frac{t}{2} \right)}$
  El resultado es: $- \frac{2 \cos^{5}{\left(\frac{t}{2} \right)}}{5} + \frac{4 \cos^{3}{\left(\frac{t}{2} \right)}}{3} - 2 \cos{\left(\frac{t}{2} \right)}$
Ahora simplificar:

$\frac{\left(3 \sin^{2}{\left(t \right)} + 14 \cos{\left(t \right)} - 46\right) \cos{\left(\frac{t}{2} \right)}}{30}$
Añadimos la constante de integración:

$\frac{\left(3 \sin^{2}{\left(t \right)} + 14 \cos{\left(t \right)} - 46\right) \cos{\left(\frac{t}{2} \right)}}{30}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{\left(3 \sin^{2}{\left(t \right)} + 14 \cos{\left(t \right)} - 46\right) \cos{\left(\frac{t}{2} \right)}}{30}+ \mathrm{constant}$

Respuesta (Indefinida) [src]

  /                                 5/t\        3/t\
 |                             2*cos |-|   4*cos |-|
 |    5/t\               /t\         \2/         \2/
 | sin |-| dt = C - 2*cos|-| - --------- + ---------
 |     \2/               \2/       5           3    
 |                                                  
/

$$\int \sin^{5}{\left(\frac{t}{2} \right)}\, dt = C - \frac{2 \cos^{5}{\left(\frac{t}{2} \right)}}{5} + \frac{4 \cos^{3}{\left(\frac{t}{2} \right)}}{3} - 2 \cos{\left(\frac{t}{2} \right)}$$

Simplificar

Gráfica

Trazar el gráfico f(x)

Respuesta [src]

32
--
15

$$\frac{32}{15}$$

32
--
15

$$\frac{32}{15}$$

32/15

Respuesta numérica [src]

2.13333333333333

2.13333333333333

Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.

Otras calculadoras

¿Cómo usar?

Expresiones idénticas

Expresiones con funciones

Integral de (sin(t/2))^5 dt

Límites de integración:

Gráfico:

Definida a trozos:

Solución

Método #1

Método #2

Método #3