Integral de (cos(3*x)-3*x*sin(3*x)) dx

1. Integramos término a término:

   1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int \left(- 3 x \sin{\left(3 x \right)}\right)\, dx = - \int 3 x \sin{\left(3 x \right)}\, dx$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 3 x \sin{\left(3 x \right)}\, dx = 3 \int x \sin{\left(3 x \right)}\, dx$

         1. Usamos la integración por partes:

            $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

            que $u{\left(x \right)} = x$ y que $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = \sin{\left(3 x \right)}$.

            Entonces $\operatorname{du}{\left(x \right)} = 1$.

            Para buscar $v{\left(x \right)}$:

            1. que $u = 3 x$.

               Luego que $du = 3 dx$ y ponemos $\frac{du}{3}$:

               $\int \frac{\sin{\left(u \right)}}{3}\, du$

               1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  $\int \sin{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \sin{\left(u \right)}\, du}{3}$

                  1. La integral del seno es un coseno menos:

                     $\int \sin{\left(u \right)}\, du = - \cos{\left(u \right)}$

                  Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{\cos{\left(u \right)}}{3}$

               Si ahora sustituir $u$ más en:

               $- \frac{\cos{\left(3 x \right)}}{3}$

            Ahora resolvemos podintegral.

         2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \left(- \frac{\cos{\left(3 x \right)}}{3}\right)\, dx = - \frac{\int \cos{\left(3 x \right)}\, dx}{3}$

            1. que $u = 3 x$.

               Luego que $du = 3 dx$ y ponemos $\frac{du}{3}$:

               $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{3}\, du$

               1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{3}$

                  1. La integral del coseno es seno:

                     $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}$

                  Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\sin{\left(u \right)}}{3}$

               Si ahora sustituir $u$ más en:

               $\frac{\sin{\left(3 x \right)}}{3}$

            Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{\sin{\left(3 x \right)}}{9}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- x \cos{\left(3 x \right)} + \frac{\sin{\left(3 x \right)}}{3}$

      Por lo tanto, el resultado es: $x \cos{\left(3 x \right)} - \frac{\sin{\left(3 x \right)}}{3}$

   1. que $u = 3 x$.

      Luego que $du = 3 dx$ y ponemos $\frac{du}{3}$:

      $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{3}\, du$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{3}$

         1. La integral del coseno es seno:

            $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\sin{\left(u \right)}}{3}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $\frac{\sin{\left(3 x \right)}}{3}$

   El resultado es: $x \cos{\left(3 x \right)}$

2. Añadimos la constante de integración:

   $x \cos{\left(3 x \right)}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$x \cos{\left(3 x \right)}+ \mathrm{constant}$