Sr Examen

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Resolución de integrales/ (x-6)/ (x-6)*cos(Pix/6)

Integral de (x-6)*cos(Pix/6) dx

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
  6                     
  /                     
 |                      
 |             /pi*x\   
 |  (x - 6)*cos|----| dx
 |             \ 6  /   
 |                      
/                       
0
∫06(x−6)cos⁡(πx6) dx\int\limits_{0}^{6} \left(x - 6\right) \cos{\left(\frac{\pi x}{6} \right)}\, dx 
Integral((x - 6)*cos((pi*x)/6), (x, 0, 6))
Solución detallada

  1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

    Método #1

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      (x−6)cos⁡(πx6)=xcos⁡(πx6)−6cos⁡(πx6)\left(x - 6\right) \cos{\left(\frac{\pi x}{6} \right)} = x \cos{\left(\frac{\pi x}{6} \right)} - 6 \cos{\left(\frac{\pi x}{6} \right)}

    2. Integramos término a término:

      1. Usamos la integración por partes:

        ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

        que u(x)=xu{\left(x \right)} = x y que dv⁡(x)=cos⁡(πx6)\operatorname{dv}{\left(x \right)} = \cos{\left(\frac{\pi x}{6} \right)}.

        Entonces du⁡(x)=1\operatorname{du}{\left(x \right)} = 1.

        Para buscar v(x)v{\left(x \right)}:

        1. que u=πx6u = \frac{\pi x}{6}.

          Luego que du=πdx6du = \frac{\pi dx}{6} y ponemos 6duπ\frac{6 du}{\pi}:

          ∫6cos⁡(u)π du\int \frac{6 \cos{\left(u \right)}}{\pi}\, du

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫cos⁡(u) du=6∫cos⁡(u) duπ\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{6 \int \cos{\left(u \right)}\, du}{\pi}

            1. La integral del coseno es seno:

              ∫cos⁡(u) du=sin⁡(u)\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}

            Por lo tanto, el resultado es: 6sin⁡(u)π\frac{6 \sin{\left(u \right)}}{\pi}

          Si ahora sustituir uu más en:

          6sin⁡(πx6)π\frac{6 \sin{\left(\frac{\pi x}{6} \right)}}{\pi}

        Ahora resolvemos podintegral.

      2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫6sin⁡(πx6)π dx=6∫sin⁡(πx6) dxπ\int \frac{6 \sin{\left(\frac{\pi x}{6} \right)}}{\pi}\, dx = \frac{6 \int \sin{\left(\frac{\pi x}{6} \right)}\, dx}{\pi}

        1. que u=πx6u = \frac{\pi x}{6}.

          Luego que du=πdx6du = \frac{\pi dx}{6} y ponemos 6duπ\frac{6 du}{\pi}:

          ∫6sin⁡(u)π du\int \frac{6 \sin{\left(u \right)}}{\pi}\, du

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫sin⁡(u) du=6∫sin⁡(u) duπ\int \sin{\left(u \right)}\, du = \frac{6 \int \sin{\left(u \right)}\, du}{\pi}

            1. La integral del seno es un coseno menos:

              ∫sin⁡(u) du=−cos⁡(u)\int \sin{\left(u \right)}\, du = - \cos{\left(u \right)}

            Por lo tanto, el resultado es: −6cos⁡(u)π- \frac{6 \cos{\left(u \right)}}{\pi}

          Si ahora sustituir uu más en:

          −6cos⁡(πx6)π- \frac{6 \cos{\left(\frac{\pi x}{6} \right)}}{\pi}

        Por lo tanto, el resultado es: −36cos⁡(πx6)π2- \frac{36 \cos{\left(\frac{\pi x}{6} \right)}}{\pi^{2}}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫(−6cos⁡(πx6)) dx=−6∫cos⁡(πx6) dx\int \left(- 6 \cos{\left(\frac{\pi x}{6} \right)}\right)\, dx = - 6 \int \cos{\left(\frac{\pi x}{6} \right)}\, dx

        1. que u=πx6u = \frac{\pi x}{6}.

          Luego que du=πdx6du = \frac{\pi dx}{6} y ponemos 6duπ\frac{6 du}{\pi}:

          ∫6cos⁡(u)π du\int \frac{6 \cos{\left(u \right)}}{\pi}\, du

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫cos⁡(u) du=6∫cos⁡(u) duπ\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{6 \int \cos{\left(u \right)}\, du}{\pi}

            1. La integral del coseno es seno:

              ∫cos⁡(u) du=sin⁡(u)\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}

            Por lo tanto, el resultado es: 6sin⁡(u)π\frac{6 \sin{\left(u \right)}}{\pi}

          Si ahora sustituir uu más en:

          6sin⁡(πx6)π\frac{6 \sin{\left(\frac{\pi x}{6} \right)}}{\pi}

        Por lo tanto, el resultado es: −36sin⁡(πx6)π- \frac{36 \sin{\left(\frac{\pi x}{6} \right)}}{\pi}

      El resultado es: 6xsin⁡(πx6)π−36sin⁡(πx6)π+36cos⁡(πx6)π2\frac{6 x \sin{\left(\frac{\pi x}{6} \right)}}{\pi} - \frac{36 \sin{\left(\frac{\pi x}{6} \right)}}{\pi} + \frac{36 \cos{\left(\frac{\pi x}{6} \right)}}{\pi^{2}}

    Método #2

    1. Usamos la integración por partes:

      ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

      que u(x)=x−6u{\left(x \right)} = x - 6 y que dv⁡(x)=cos⁡(πx6)\operatorname{dv}{\left(x \right)} = \cos{\left(\frac{\pi x}{6} \right)}.

      Entonces du⁡(x)=1\operatorname{du}{\left(x \right)} = 1.

      Para buscar v(x)v{\left(x \right)}:

      1. que u=πx6u = \frac{\pi x}{6}.

        Luego que du=πdx6du = \frac{\pi dx}{6} y ponemos 6duπ\frac{6 du}{\pi}:

        ∫6cos⁡(u)π du\int \frac{6 \cos{\left(u \right)}}{\pi}\, du

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫cos⁡(u) du=6∫cos⁡(u) duπ\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{6 \int \cos{\left(u \right)}\, du}{\pi}

          1. La integral del coseno es seno:

            ∫cos⁡(u) du=sin⁡(u)\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}

          Por lo tanto, el resultado es: 6sin⁡(u)π\frac{6 \sin{\left(u \right)}}{\pi}

        Si ahora sustituir uu más en:

        6sin⁡(πx6)π\frac{6 \sin{\left(\frac{\pi x}{6} \right)}}{\pi}

      Ahora resolvemos podintegral.

    2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      ∫6sin⁡(πx6)π dx=6∫sin⁡(πx6) dxπ\int \frac{6 \sin{\left(\frac{\pi x}{6} \right)}}{\pi}\, dx = \frac{6 \int \sin{\left(\frac{\pi x}{6} \right)}\, dx}{\pi}

      1. que u=πx6u = \frac{\pi x}{6}.

        Luego que du=πdx6du = \frac{\pi dx}{6} y ponemos 6duπ\frac{6 du}{\pi}:

        ∫6sin⁡(u)π du\int \frac{6 \sin{\left(u \right)}}{\pi}\, du

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫sin⁡(u) du=6∫sin⁡(u) duπ\int \sin{\left(u \right)}\, du = \frac{6 \int \sin{\left(u \right)}\, du}{\pi}

          1. La integral del seno es un coseno menos:

            ∫sin⁡(u) du=−cos⁡(u)\int \sin{\left(u \right)}\, du = - \cos{\left(u \right)}

          Por lo tanto, el resultado es: −6cos⁡(u)π- \frac{6 \cos{\left(u \right)}}{\pi}

        Si ahora sustituir uu más en:

        −6cos⁡(πx6)π- \frac{6 \cos{\left(\frac{\pi x}{6} \right)}}{\pi}

      Por lo tanto, el resultado es: −36cos⁡(πx6)π2- \frac{36 \cos{\left(\frac{\pi x}{6} \right)}}{\pi^{2}}

    Método #3

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      (x−6)cos⁡(πx6)=xcos⁡(πx6)−6cos⁡(πx6)\left(x - 6\right) \cos{\left(\frac{\pi x}{6} \right)} = x \cos{\left(\frac{\pi x}{6} \right)} - 6 \cos{\left(\frac{\pi x}{6} \right)}

    2. Integramos término a término:

      1. Usamos la integración por partes:

        ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

        que u(x)=xu{\left(x \right)} = x y que dv⁡(x)=cos⁡(πx6)\operatorname{dv}{\left(x \right)} = \cos{\left(\frac{\pi x}{6} \right)}.

        Entonces du⁡(x)=1\operatorname{du}{\left(x \right)} = 1.

        Para buscar v(x)v{\left(x \right)}:

        1. que u=πx6u = \frac{\pi x}{6}.

          Luego que du=πdx6du = \frac{\pi dx}{6} y ponemos 6duπ\frac{6 du}{\pi}:

          ∫6cos⁡(u)π du\int \frac{6 \cos{\left(u \right)}}{\pi}\, du

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫cos⁡(u) du=6∫cos⁡(u) duπ\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{6 \int \cos{\left(u \right)}\, du}{\pi}

            1. La integral del coseno es seno:

              ∫cos⁡(u) du=sin⁡(u)\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}

            Por lo tanto, el resultado es: 6sin⁡(u)π\frac{6 \sin{\left(u \right)}}{\pi}

          Si ahora sustituir uu más en:

          6sin⁡(πx6)π\frac{6 \sin{\left(\frac{\pi x}{6} \right)}}{\pi}

        Ahora resolvemos podintegral.

      2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫6sin⁡(πx6)π dx=6∫sin⁡(πx6) dxπ\int \frac{6 \sin{\left(\frac{\pi x}{6} \right)}}{\pi}\, dx = \frac{6 \int \sin{\left(\frac{\pi x}{6} \right)}\, dx}{\pi}

        1. que u=πx6u = \frac{\pi x}{6}.

          Luego que du=πdx6du = \frac{\pi dx}{6} y ponemos 6duπ\frac{6 du}{\pi}:

          ∫6sin⁡(u)π du\int \frac{6 \sin{\left(u \right)}}{\pi}\, du

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫sin⁡(u) du=6∫sin⁡(u) duπ\int \sin{\left(u \right)}\, du = \frac{6 \int \sin{\left(u \right)}\, du}{\pi}

            1. La integral del seno es un coseno menos:

              ∫sin⁡(u) du=−cos⁡(u)\int \sin{\left(u \right)}\, du = - \cos{\left(u \right)}

            Por lo tanto, el resultado es: −6cos⁡(u)π- \frac{6 \cos{\left(u \right)}}{\pi}

          Si ahora sustituir uu más en:

          −6cos⁡(πx6)π- \frac{6 \cos{\left(\frac{\pi x}{6} \right)}}{\pi}

        Por lo tanto, el resultado es: −36cos⁡(πx6)π2- \frac{36 \cos{\left(\frac{\pi x}{6} \right)}}{\pi^{2}}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫(−6cos⁡(πx6)) dx=−6∫cos⁡(πx6) dx\int \left(- 6 \cos{\left(\frac{\pi x}{6} \right)}\right)\, dx = - 6 \int \cos{\left(\frac{\pi x}{6} \right)}\, dx

        1. que u=πx6u = \frac{\pi x}{6}.

          Luego que du=πdx6du = \frac{\pi dx}{6} y ponemos 6duπ\frac{6 du}{\pi}:

          ∫6cos⁡(u)π du\int \frac{6 \cos{\left(u \right)}}{\pi}\, du

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫cos⁡(u) du=6∫cos⁡(u) duπ\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{6 \int \cos{\left(u \right)}\, du}{\pi}

            1. La integral del coseno es seno:

              ∫cos⁡(u) du=sin⁡(u)\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}

            Por lo tanto, el resultado es: 6sin⁡(u)π\frac{6 \sin{\left(u \right)}}{\pi}

          Si ahora sustituir uu más en:

          6sin⁡(πx6)π\frac{6 \sin{\left(\frac{\pi x}{6} \right)}}{\pi}

        Por lo tanto, el resultado es: −36sin⁡(πx6)π- \frac{36 \sin{\left(\frac{\pi x}{6} \right)}}{\pi}

      El resultado es: 6xsin⁡(πx6)π−36sin⁡(πx6)π+36cos⁡(πx6)π2\frac{6 x \sin{\left(\frac{\pi x}{6} \right)}}{\pi} - \frac{36 \sin{\left(\frac{\pi x}{6} \right)}}{\pi} + \frac{36 \cos{\left(\frac{\pi x}{6} \right)}}{\pi^{2}}

  2. Ahora simplificar:

    6(π(x−6)sin⁡(πx6)+6cos⁡(πx6))π2\frac{6 \left(\pi \left(x - 6\right) \sin{\left(\frac{\pi x}{6} \right)} + 6 \cos{\left(\frac{\pi x}{6} \right)}\right)}{\pi^{2}}

  3. Añadimos la constante de integración:

    6(π(x−6)sin⁡(πx6)+6cos⁡(πx6))π2+constant\frac{6 \left(\pi \left(x - 6\right) \sin{\left(\frac{\pi x}{6} \right)} + 6 \cos{\left(\frac{\pi x}{6} \right)}\right)}{\pi^{2}}+ \mathrm{constant}

Respuesta:

6(π(x−6)sin⁡(πx6)+6cos⁡(πx6))π2+constant\frac{6 \left(\pi \left(x - 6\right) \sin{\left(\frac{\pi x}{6} \right)} + 6 \cos{\left(\frac{\pi x}{6} \right)}\right)}{\pi^{2}}+ \mathrm{constant}

Respuesta (Indefinida) [src] 
  /                                 /pi*x\         /pi*x\          /pi*x\
 |                            36*sin|----|   36*cos|----|   6*x*sin|----|
 |            /pi*x\                \ 6  /         \ 6  /          \ 6  /
 | (x - 6)*cos|----| dx = C - ------------ + ------------ + -------------
 |            \ 6  /               pi              2              pi     
 |                                               pi                      
/
∫(x−6)cos⁡(πx6) dx=C+6xsin⁡(πx6)π−36sin⁡(πx6)π+36cos⁡(πx6)π2\int \left(x - 6\right) \cos{\left(\frac{\pi x}{6} \right)}\, dx = C + \frac{6 x \sin{\left(\frac{\pi x}{6} \right)}}{\pi} - \frac{36 \sin{\left(\frac{\pi x}{6} \right)}}{\pi} + \frac{36 \cos{\left(\frac{\pi x}{6} \right)}}{\pi^{2}}
Simplificar
Gráfica
0.06.00.51.01.52.02.53.03.54.04.55.05.5-1010
Trazar el gráfico f(x)
Respuesta [src] 
-72 
----
  2 
pi
−72π2- \frac{72}{\pi^{2}} 
=
= 
-72 
----
  2 
pi
−72π2- \frac{72}{\pi^{2}} 
-72/pi^2
Respuesta numérica [src] 
-7.29512522224832
-7.29512522224832

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.

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