Sr Examen
Integral de x*sqrt(2x-(y^2)/2) dy
Solución
Ha introducido
[src]
1 / | | __________ | / 2 | / y | x* / 2*x - -- dy | \/ 2 | / 0
$$\int\limits_{0}^{1} x \sqrt{2 x - \frac{y^{2}}{2}}\, dy$$
Integral(x*sqrt(2*x - y^2/2), (y, 0, 1))
Solución detallada
-
La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
-
Vuelva a escribir el integrando:
-
La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
-
No puedo encontrar los pasos en la búsqueda de esta integral.
Pero la integral
Por lo tanto, el resultado es:
-
-
Por lo tanto, el resultado es:
Ahora simplificar:
Añadimos la constante de integración:
Respuesta:
Respuesta (Indefinida)
[src]
// | 2| \
|| |y | |
|| ___ 3 |--| |
|| / y \ I*y*\/ x I*y |x | |
||- 2*I*x*acosh|-------| - --------------- + ----------------------- for ---- > 1|
|| | ___| __________ __________ 4 |
|| \2*\/ x / / 2 / 2 |
|| / y ___ / y |
___ || / -1 + --- 4*\/ x * / -1 + --- |
x*\/ 2 *|< \/ 4*x \/ 4*x |
|| |
|| ___ 3 |
|| / y \ y*\/ x y |
|| 2*x*asin|-------| + -------------- - ---------------------- otherwise |
/ || | ___| _________ _________ |
| || \2*\/ x / / 2 / 2 |
| __________ || / y ___ / y |
| / 2 || / 1 - --- 4*\/ x * / 1 - --- |
| / y \\ \/ 4*x \/ 4*x /
| x* / 2*x - -- dy = C + -------------------------------------------------------------------------------------------
| \/ 2 2
|
/
$$\int x \sqrt{2 x - \frac{y^{2}}{2}}\, dy = C + \frac{\sqrt{2} x \left(\begin{cases} - \frac{i \sqrt{x} y}{\sqrt{-1 + \frac{y^{2}}{4 x}}} - 2 i x \operatorname{acosh}{\left(\frac{y}{2 \sqrt{x}} \right)} + \frac{i y^{3}}{4 \sqrt{x} \sqrt{-1 + \frac{y^{2}}{4 x}}} & \text{for}\: \frac{\left|{\frac{y^{2}}{x}}\right|}{4} > 1 \\\frac{\sqrt{x} y}{\sqrt{1 - \frac{y^{2}}{4 x}}} + 2 x \operatorname{asin}{\left(\frac{y}{2 \sqrt{x}} \right)} - \frac{y^{3}}{4 \sqrt{x} \sqrt{1 - \frac{y^{2}}{4 x}}} & \text{otherwise} \end{cases}\right)}{2}$$
Respuesta
[src]
1 / | | / / ___ ___ ___ 4 ___ 2 ___ 2 \ 2 | | | I*\/ 2 *\/ x I*\/ 2 *y I*\/ 2 *y 3*I*\/ 2 *y | y | |x*|- --------------- - --------------------- + --------------------- + -----------------------| for ----- > 1 | | | __________ 3/2 3/2 __________| 4*|x| | | | / 2 / 2\ / 2\ / 2 | | | | / y 3/2 | y | ___ | y | ___ / y | | | | / -1 + --- 32*x *|-1 + ---| 8*\/ x *|-1 + ---| 8*\/ x * / -1 + --- | | | \ \/ 4*x \ 4*x/ \ 4*x/ \/ 4*x / | < dy | | / ___ ___ ___ 2 ___ 4 ___ 2 \ | | | \/ 2 *\/ x 3*\/ 2 *y \/ 2 *y \/ 2 *y | | | x*|-------------- - ---------------------- - -------------------- + --------------------| otherwise | | | _________ _________ 3/2 3/2| | | | / 2 / 2 / 2\ / 2\ | | | | / y ___ / y 3/2 | y | ___ | y | | | | | / 1 - --- 8*\/ x * / 1 - --- 32*x *|1 - ---| 8*\/ x *|1 - ---| | | \ \\/ 4*x \/ 4*x \ 4*x/ \ 4*x/ / | / 0
$$\int\limits_{0}^{1} \begin{cases} x \left(- \frac{\sqrt{2} i \sqrt{x}}{\sqrt{-1 + \frac{y^{2}}{4 x}}} + \frac{3 \sqrt{2} i y^{2}}{8 \sqrt{x} \sqrt{-1 + \frac{y^{2}}{4 x}}} + \frac{\sqrt{2} i y^{2}}{8 \sqrt{x} \left(-1 + \frac{y^{2}}{4 x}\right)^{\frac{3}{2}}} - \frac{\sqrt{2} i y^{4}}{32 x^{\frac{3}{2}} \left(-1 + \frac{y^{2}}{4 x}\right)^{\frac{3}{2}}}\right) & \text{for}\: \frac{y^{2}}{4 \left|{x}\right|} > 1 \\x \left(\frac{\sqrt{2} \sqrt{x}}{\sqrt{1 - \frac{y^{2}}{4 x}}} - \frac{3 \sqrt{2} y^{2}}{8 \sqrt{x} \sqrt{1 - \frac{y^{2}}{4 x}}} + \frac{\sqrt{2} y^{2}}{8 \sqrt{x} \left(1 - \frac{y^{2}}{4 x}\right)^{\frac{3}{2}}} - \frac{\sqrt{2} y^{4}}{32 x^{\frac{3}{2}} \left(1 - \frac{y^{2}}{4 x}\right)^{\frac{3}{2}}}\right) & \text{otherwise} \end{cases}\, dy$$
=
=
1 / | | / / ___ ___ ___ 4 ___ 2 ___ 2 \ 2 | | | I*\/ 2 *\/ x I*\/ 2 *y I*\/ 2 *y 3*I*\/ 2 *y | y | |x*|- --------------- - --------------------- + --------------------- + -----------------------| for ----- > 1 | | | __________ 3/2 3/2 __________| 4*|x| | | | / 2 / 2\ / 2\ / 2 | | | | / y 3/2 | y | ___ | y | ___ / y | | | | / -1 + --- 32*x *|-1 + ---| 8*\/ x *|-1 + ---| 8*\/ x * / -1 + --- | | | \ \/ 4*x \ 4*x/ \ 4*x/ \/ 4*x / | < dy | | / ___ ___ ___ 2 ___ 4 ___ 2 \ | | | \/ 2 *\/ x 3*\/ 2 *y \/ 2 *y \/ 2 *y | | | x*|-------------- - ---------------------- - -------------------- + --------------------| otherwise | | | _________ _________ 3/2 3/2| | | | / 2 / 2 / 2\ / 2\ | | | | / y ___ / y 3/2 | y | ___ | y | | | | | / 1 - --- 8*\/ x * / 1 - --- 32*x *|1 - ---| 8*\/ x *|1 - ---| | | \ \\/ 4*x \/ 4*x \ 4*x/ \ 4*x/ / | / 0
$$\int\limits_{0}^{1} \begin{cases} x \left(- \frac{\sqrt{2} i \sqrt{x}}{\sqrt{-1 + \frac{y^{2}}{4 x}}} + \frac{3 \sqrt{2} i y^{2}}{8 \sqrt{x} \sqrt{-1 + \frac{y^{2}}{4 x}}} + \frac{\sqrt{2} i y^{2}}{8 \sqrt{x} \left(-1 + \frac{y^{2}}{4 x}\right)^{\frac{3}{2}}} - \frac{\sqrt{2} i y^{4}}{32 x^{\frac{3}{2}} \left(-1 + \frac{y^{2}}{4 x}\right)^{\frac{3}{2}}}\right) & \text{for}\: \frac{y^{2}}{4 \left|{x}\right|} > 1 \\x \left(\frac{\sqrt{2} \sqrt{x}}{\sqrt{1 - \frac{y^{2}}{4 x}}} - \frac{3 \sqrt{2} y^{2}}{8 \sqrt{x} \sqrt{1 - \frac{y^{2}}{4 x}}} + \frac{\sqrt{2} y^{2}}{8 \sqrt{x} \left(1 - \frac{y^{2}}{4 x}\right)^{\frac{3}{2}}} - \frac{\sqrt{2} y^{4}}{32 x^{\frac{3}{2}} \left(1 - \frac{y^{2}}{4 x}\right)^{\frac{3}{2}}}\right) & \text{otherwise} \end{cases}\, dy$$
Integral(Piecewise((x*(-i*sqrt(2)*sqrt(x)/sqrt(-1 + y^2/(4*x)) - i*sqrt(2)*y^4/(32*x^(3/2)*(-1 + y^2/(4*x))^(3/2)) + i*sqrt(2)*y^2/(8*sqrt(x)*(-1 + y^2/(4*x))^(3/2)) + 3*i*sqrt(2)*y^2/(8*sqrt(x)*sqrt(-1 + y^2/(4*x)))), y^2/(4*|x|) > 1), (x*(sqrt(2)*sqrt(x)/sqrt(1 - y^2/(4*x)) - 3*sqrt(2)*y^2/(8*sqrt(x)*sqrt(1 - y^2/(4*x))) - sqrt(2)*y^4/(32*x^(3/2)*(1 - y^2/(4*x))^(3/2)) + sqrt(2)*y^2/(8*sqrt(x)*(1 - y^2/(4*x))^(3/2))), True)), (y, 0, 1))
Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.